Задание № 4. Задачи разных типов

Формализовать задачу линейного программирования и решить с помощью Excel. Сделать экономический вывод.

Задание 1.

На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество единиц корма, расходуемых на одно животное, запасы кормов и цена 1 шкурки указаны в таблице.

Вид корма

Кол-во ед. на 1 животное

Общее кол-во корма

лисица

песец

I

2

3

180

II

4

1

240

III

6

7

426

Цена

16

12

Определить, сколько лисиц и песцов необходимо выращивать, чтобы получить максимальную цену от продажи их шкурок.

Обозначим лисиц через x1, песцов через - x2.

Определим прибыль от выращивания животных. Прибыль от выращивания лисицы составляет по условию 16 ден. ед. План выращивания лисиц - x1 ед. Прибыль от выращивания песцов составляет по условию 12 ден. ед. План выращивания песцов - x2 ед. Суммарная прибыль от выращивания всех животных составит (16x1+12x2) ден. ед. Тогда целевая функция имеет вид: F=16x1+12x2, - суммарная прибыль должна быть наибольшей.

Составим систему ограничений.

1. Ограничение на использование сырья.

Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 2 ед. корма 1, необходимо 2х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 3 ед. корма 1, необходимо 3х2 корма для песцов. Количество корма 1 для животных не должно превышать 180 единиц. Ограничение на использование корма 1: 2x1+3x2180

Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 4 ед. корма 2, необходимо 4х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 1 ед. корма 2, необходимо 1х2 корма для песцов. Количество корма 2 для животных не должно превышать 240 единиц. Ограничение на использование корма 2: 4x1+1x2240

Для того чтобы вырастить одну лисицу необходимо 6 ед. корма 3, необходимо 6х1 корма для лисиц, для того чтобы вырастить одного песца необходимо 7 ед. корма 3, необходимо 7х2 корма для песцов. Количество корма 3 для животных не должно превышать 426 единиц. Ограничение на использование корма 3: 6x1+7x2426

Получили математическую модель задачи:

F=16x1+12x2max

2x1+3x2180

4x1+1x2240

6x1+7x2426

x10, x20

Решив задачу одним из способов, рассмотренных в приложении, получим значения переменных: x1=57; x2=12; Fmax=1056.

Решение задачи линейного программирования включает в себя не только формализацию и математическое решение, но и экономический анализ полученных результатов.

Экономический вывод:

Для получения максимальной прибыли в размере 1056 ден. ед. план развода животных должен быть таким: лисиц - 57 единиц, песец - 12 единиц. При этом, затраты ресурсов составят:

"Корм 1" - 150 единицы при запасе 180 ед. (остаток 30 единиц);

"Корм 2" - 240 кг единицы при запасе 240 ед.;

"Корм 3" - 426 единиц при запасе 426 ед. .

Избыточным является ресурс "Корм 1", недостаточным - "Корм 2" и "Корм3".

Вид корма

Кол-во ед. на 1 животное

Общее кол-во корма

лисица

песец

I

2

3

180

II

4

1

240

III

6

7

426

Цена

16

12

Оптимальное кол-во

57

12

Реальные затраты

114

36

150

I

228

12

240

II

342

84

426

III

Целевая функция

1056

max

Вид корма

Кол-во ед. на 1 животное

Общее кол-во корма

лисица

песец

I

2

3

180

II

4

1

240

III

6

7

426

Цена

16

12

Оптимальное кол-во

57,0000003181818

11,9999997272727

Реальные затраты

=СУММПРОИЗВ (B12; B7)

=СУММПРОИЗВ (C12; C7)

180

I

=СУММПРОИЗВ (B12; B8)

=СУММПРОИЗВ (C12; C8)

=СУММ

(B14: C14)

II

=СУММПРОИЗВ (B12; B9)

=СУММПРОИЗВ (C12; C9)

=СУММ

(B15: C15)

III

Целевая функция

=СУММПРОИЗВ (B12: C12; B10: C10)

max

Задание 2.

Для кормления подопытного животного ему необходимо давать ежедневно не менее 15 ед. химического вещества А1 (витамина или некоторой соли) и 15 ед. химического вещества А2. Не имея возможности давать вещество А1 или А2 в чистом виде, можно приобретать вещество В1 по 1 д. е. или В2 по 3 д. е. за 1 кг, причем каждый кг В1 содержит 1 ед. А1 и 3 ед. А2, а кг В2 - 6 ед. А1 и 2 ед. А2.

Запасы веществ на складе: В1 - 7 кг, В2 - 9 кг.

Определить оптимальную закупку веществ В1 и В2 для ежедневного рациона.

Формализация задачи:

Пусть x1 - количество В1, а x2 - количество В2, которое необходимо использовать в рационе. Тогда целевая функция - стоимость продуктов равна:

F = 1x1+3x2 - min.

Составим систему ограничений.

1. Ограничение на содержание в рационе кормовых единиц - не менее 15 вещества А1 и не менее 15 вещества А2. В одной единице В1 содержится по 1 кормовой единице вещества А1 и 3 кормовые единицы вещества А2. В одной единице В2 содержится по 6 кормовых единиц вещества А1 и 2 кормовые единицы вещества А2.

2. Ограничение на содержание в рационе вещества А1 - не менее 15 единиц. Значит, 1x1+6x2 ? 15.

3. Аналогично рассуждая, составим ограничения на содержание вещества А2 - не менее 15 единиц. Значит, 3x1+2x2 ? 15.

4. Ограничение запасы вещества В1 и В2 x1?7; x2?9;

Так как x1 и x2 - количество продукта, то x1 и x2 неотрицательны.

Получили математическую модель задачи о смесях:

F = 1x1+3x2 - min.

1x1+6x2 ? 15.

3x1+2x2 ? 15.

x1?7

x2?9

x1 0

x2 0

Решение: x1=4; x2=2; Fmin=10.

Экономический вывод:

В суточном рационе должно содержаться 4 единицы вещества В1 и 2 единицы вещества В2. Стоимость такого рациона составит 10 ден. ед.

Питательность рациона составит:

Вещество А1 - 16 единиц, А2 - 16 единиц.

Хим вещество

Вещество заменитель

общее необходимое кол-во /cутки.

B1

B2

A1

1

6

15

A2

3

2

15

цена

1

3

запасы

7

9

Оптимальная закупка

B1

B2

4

2

Реальные замена

4

12

16

12

4

16

Сумма

4

6

Целевая функция

10

Хим вещество

Вещество заменитель

общее нелбходимое

кол-во / cутки.

B1

B2

A1

1

6

15

A2

3

2

15

цена

1

3

запасы

7

9

Оптимальная закупка

B1

B2

4

2

Реальные замена

=B9*B4

=C9*C4

=СУММ (B10: C10)

=B9*B5

=C9*C5

=СУММ (B11: C11)

Сумма

=B9*B6

=C9*C6

Целевая функция

=СУММПРОИЗВ

(B9: C9; B6: C6)

Задание 3.

На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 180, 60 и 80 единиц.

Этот груз необходимо перевезти в 4 магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 60, 40 и 80 единиц груза.

Тарифы перевозок единицы груза из каждого склада во все магазины задаются матрицей

2 3 4 3

С = 5 3 1 2

2 1 4 2

Составить план перевозок, стоимость которых является минимальной.

Пункты

Отправления

Запасы

Пункты назначения

B1

B2

B3

B4

A1

180

x11

2

X12

3

x13

4

x14

3

A2

60

X21

5

x22

3

X23

1

x24

2

A3

80

X31

2

X32

1

x33

4

x34

2

Потребности

120

60

40

80

Пусть число пунктов отправления и число пунктов назначения равно 4 (n=4, m=4). Запасы, потребности и стоимость перевозок указаны в таблице:

Пусть xij - количество груза, перевезенного из пункта Аi в пункт Вj. Проверим соответствие запасов и потребностей:

180+60+80=320 > 120+60+40+80=300.

Задача открытая.

Целевая функция F равна стоимости всех перевозок:

F = 2x11+3x12+4x13+ 3x14+5x21+3x22+1x23+2x24+2x31+1x32+4x33+2x34 (min).

Система ограничений определяется следующими условиями:

а) количество вывозимых грузов не больше запасов:

x11+x12+x13+x14 180;

x21+x22+x23+x24 60;

x31+x32+x33+x34 80.

б) количество ввозимых грузов равно потребностям:

x11+x21+x31= 120;

x12+x22+x32= 60;

x13+x23+x33= 40;

x14+x24+x34= 80;

в) количество вывозимых грузов неотрицательно:

x11 0; x12 0; x13 0; x14 0

x21 0; x22 0; x23 0; x24 0

x31 0; x32 0; x33 0; x34 0

Получили формализованную задачу:

F = 2x11+3x12+4x13+ 3x14+5x21+3x22+1x23+2x24+2x31+1x32+4x33+2x34 (min).

x11+x12+x13+x14 180;

x21+x22+x23+x24 60;

x31+x32+x33+x34 80.

x11+x21+x31= 120;

x12+x22+x32= 60;

x13+x23+x33= 40;

x14+x24+x34= 80;

x11 0; x12 0; x13 0; x14 0; x21 0; x22 0; x23 0; x24 0; x31 0; x32 0;

x33 0; x34 0.

Пункты отправления

Запасы

Пункты назначения

B1

B2

B3

B4

A1

180

2

3

4

3

A2

60

5

3

1

2

A3

80

2

1

4

2

Потребности

120

40

60

80

Потре-битель 1

Потре-битель 2

Потре-битель 3

Потре-битель 4

Поставщик 1

46

32

46

37

160

Поставщик 2

31

6

4

18

60

Поставщик 1

43

2

11

25

80

120

40

60

80

Грузооборот

875,8

т. - км

Пункты отправления

Запасы

Пункты назначения

B1

B2

B3

B4

A1

180

2

3

4

3

A2

60

5

3

1

2

A3

80

2

1

4

2

Потребности

120

40

60

80

Потребитель 1

Потребитель 2

Потребитель 3

Потребитель 4

Поставщик 1

39,4444451388889

38,3333334166667

45,5555562777778

36,6666671666667

=СУММ (B11: E11)

Поставщик 2

37,7777775555556

0

3,88888869444445

18,33333375

=СУММ (B12: E12)

Поставщик 1

42,7777783055556

1,66666658333333

10,5555550277778

25,0000000833333

=СУММ (B13: E13)

=СУММ (B11: B13)

=СУММ (C11: C13)

=СУММ (D11: D13)

=СУММ (E11: E13)

Грузооборот

=СУММПРОИЗВ (B11: E13; C3: F5)

т. - км

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать