Теорема замещения

В теории электрических цепей как при доказательствах ряда ее положений, так и при численных расчетах используется теорема замещения: значения всех напряжений и токов в электрической цепи сохраняются неизменными, если любую ветвь цепи заменить источником напряжения, у которого задающее напряжение равно напряжению этой ветви до указанной замены.

Для доказательства теоремы обратимся к рис. 1.5. а, на котором выделена ветвь цепи, подлежащая замене источником напряжения.

а) б) в)

Рис. 1.5.

Введем последовательно с этой ветвью два источника напряжения с задающими напряжениями и включим их так, как показано на рис. 1.5.,б. При этом все напряжения и токи сохраняют свои прежние значения, поскольку задающие напряжения источников компенсируют друг друга (разность потенциалов между узлами 1 и 3 цепи равна нулю, что эквивалентно соединению этих узлов накоротко). Но компенсируют друг друга также напряжение на зажимах выделенной ветви и задающее напряжение одного из источников, т. е. напряжение между узлами 0 и 2 цепи. Эти два элемента не влияют, следовательно, на токи и напряжения в цепи, и их можно исключить из цепи, соединив накоротко узлы 0 и 2. Но тогда в цепи вместо выделенной ветви оказывается включенным источник напряжения (рисунок 1.5.,в), что и доказывает теорему.

Аналогично может быть доказана и двойственная (дуальная) формулировка теоремы замещения: значения всех напряжений и токов в электрической цепи сохраняются неизменными, если любую ветвь цепи заменить источником тока, у которого задающий ток равен току в этой ветви до указанной замены.

Доказательство предполагается выполнить самостоятельно.

В качестве примера применения теоремы на рисунке 1.6 приведены схемы трех цепей.

Рис. 1. 6.

В схемах в соответствии с теоремой замещения напряжения и токи в одноименных ветвях имеют одинаковые значения. Необходимо обратить внимание на то, что теорема применима как к линейным, так и к нелинейным электрическим цепям. Так как при ее доказательстве на выделенную ветвь не накладывается никаких ограничений, кроме того, что она обменивается энергией с остальной частью цепи только через зажимы 1-0 с помощью тока.

Теорема Теллегена. Баланс мощности

Теорема Теллегена является одной из наиболее общих теорем теории электрических цепей. Рассмотрим граф произвольной электрической цепи, содержащей nв ветвей и nу узлов. Для согласованных направлений напряжений и токов ветвей теорема Теллегена гласит: сумма произведений напряжений uk и токов ik всех ветвей графа, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна нулю.

.

Докажем эту теорему на примере цепи, изображенной на рис. 1. 7.

Рис. 1.7.

Составим сумму произведений для каждой из ветвей:

.

Согласно второго закона Кирхгофа должны выполняться условия:

Подставим данные выражения напряжений в сумму:

так как выражения, стоящие в скобках, согласно первого закона Кирхгофа равны нулю, это и доказывает теорему. Необходимо подчеркнуть, что поскольку теорема Теллегена следует непосредственно из законов Кирхгофа, то она справедлива для любых электрических цепей: линейных и нелинейных, активных и пассивных; цепей, параметры которых изменяются во времени (параметрических цепей). В общем случае эта теорема справедлива и для случая попарных произведений и разных ветвей, если для них выполняются законы Кирхгофа.

Из теоремы Теллегена вытекает ряд следствий, важнейшим из которых является баланс мощности. Действительно, произведение представляет собой мгновенную мощность k-ветви, поэтому в соответствии с формулой алгебраическая сумма мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если выделить ветви с независимыми источниками, то баланс мощности можно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равняется алгебраической сумме мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи.

Пример. Составит баланс мощности для цепи, изображенной на рис. 1.8.

Рис. 1.8.

Алгебраическая сумма мгновенных мощностей, развиваемых источниками напряжения и тока:

.

Потребляемая мощность с учетом законов Ома:

В соответствии с балансом мощностей:

.

Следует отметить, что при определении произведение ei, берется со знаком "+", если направления задающего напряжения e и тока i совпадают с друг другом, и со знаком "-" в противном случае. Аналогичное правило знаков для источников тока: если напряжение на зажимах источника совпадает с направлением задающего тока i0, берется знак "+", а если напряжение направлено навстречу задающему току -- знак "-". Баланс мощности выражает не что иное, как закон сохранения энергии в электрической цепи.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >