Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Теории проводимости металлов Друде и Зоммерфельда

Модель Зоммерфельда

Первые серьезные работы по приложению статистики Ферми-Дирака к актуальным проблемам электронной теории металлов были выполнены Зоммерфельдом и его сотрудниками в 1928г. Данные авторы исследовали задачу об электронной теплоемкости, после чего перешли к проблемам электронной проводимости, термоионной эмиссии и другим вопросам.

В большинстве случаев, модель Зоммерфельда представляет собой модель металлов классического электронного газа Друде с единственным отличием: распределение электронов по скоростям описывается распределением Ферми-Дирака, а не Максвелла-Больцмана. Применение квантовой статистики помогло избавиться от ряда недостатков модели Друде, однако многие количественные результаты, получаемые в модели свободных электронов Зоммерфельда, по-прежнему противоречат экспериментам.

Распределение Ферми-Дирака и его применение

Статистика Ферми -- Дирака относится к совокупностям частиц (например, электронов), которые подчиняются принципу Паули, но во всех других отношениях движутся независимо друг от друга. В частности, они могут двигаться и во внешнем поле, хотя в случае свободных электронов таковое отсутствует.

Рассмотрим распределение электронов по различным возможным энергетическим уровням. Как известно, согласно принципу Паули, каждый уровень может быть занят не более чем одним электроном с заданной ориентацией спина. При температуре абсолютного нуля нижние энергетические уровни вплоть до уровня Ферми целиком заполнены, так что занятых состояний как раз достаточно для размещения всех электронов.

а -- при температуре абсолютного нуля; b,с -- при более высоких температурах.

Рисунок 2.1 -- Вид функции Ферми F (Е)

Как видно из графика, переход от одного случая к другому происходит тем быстрее, чем ниже температура. При температуре абсолютного нуля функция F(E) изменяется бесконечно быстро: при всех энергиях, меньших ЕF, каждый уровень занят двумя электронами с различными ориентациями спина, в то время как при энергиях, больших EF, все уровни пусты. Таким образом, энергия EF соответствует введенному выше уровню Ферми. При температуре абсолютного нуля это есть верхний заполненный уровень энергии.

Энергия Ферми, поверхность Ферми, скорость Ферми, температура Ферми

Уравнение Шредингера для свободной частицы в трехмерном случае имеет следующий вид

Решение этого уравнения является волновая функция, которая имеет вид

Также для волновой функции должны выполняться граничные условия, записываемые соотношением

где L-некоторый период. Аналогичные условия должны выполняться для координат y и z:

Волновые функции, удовлетворяющие уравнению Шредингера и граничным условиям, представляют собой плоские волны и находятся по формуле

где k принимает следующие значения

В последнем выражении еk -- собственные значения энергий состояний с волновым вектором k, величина которого связана с величиной длины волны следующим соотношением

Импульсу p в квантовой механике соответствует оператор . Подействовав этим оператором на волновую функцию запишем результирующее выражение

В основном состоянии системы из N свободных электронов, занятые состоянии можно описывать точками внутри сферы в k-пространстве (рисунок 2.2). Энергия соответствующая поверхности этой сферы, является энергией Ферми. Волновые векторы упирающиеся в поверхность этой сферы, имеют длины, равные kF , а сама поверхность называется поверхностью Ферми.

Сферическая поверхность Ферм

Рисунок 2.2 -- Сферическая поверхность Ферм

Использую известную формулу для объема шара, а также то, что полное число состояний равно числу электронов N, получаем выражение

Используя это выражение получим формулу для энергии Ферми, устанавливающее зависимость энергии Ферми от концентрации электронов и от их массы. Данное выражение имеет вид

Для скорости электронов на поверхности Ферми получим формулу:

где скорость хF называется скоростью Ферми.

Значение температуры Ферми определяется отношением

гдепостоянная Больцмана, температура Ферми.

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее