Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Теории проводимости металлов Друде и Зоммерфельда

Теплоемкость металлов

Проблема теплоемкости электронов проводимости на раннем этапе развития теории металлов оказалась непреодолимо трудной. Во времена Друде и затем в течение многих лет вполне разумным казалось предположение, что распределение электронов по скоростям совпадает с рас-пределением молекул в обычном классическом газе с плотностью п = N/V, и описывается, в состоянии равновесия при температуреТ, формулой Максвелла -- Больцмана, которая имеет вид

где Е -- полная энергия частицы.

Подобное предположение в сочетании с моделью Друде приводит к результатам, согласующимся по порядку величины с законом Виде-мана -- Франца.Однако, если считать, что каждый электрон, независимо от остальных, дает вклад в теплоемкость металла, равный 3/2кв на один электрон. Однако экспериментально такой вклад обнаружен не был.

Этот парадокс вызывал сомнения в справедливости модели Друде, которые рассеялись лишь после создания квантовой теории и признания того факта, что для электронов, в силу принципа запрета Паули, распределение Максвелла -- Больцмана должно быть заменено распреде-лением Ферми -- Дирака.

Когда мы нагреваем образец от абсолютного нуля, не каждый электрон в нем приобретает энергию порядка kBT, как следовало бы согласно классической теории газов. В основном состоянии все уровни, лежащие ниже уровня Ферми заняты. При любом механизме возбуждения электрона энергия должна быть достаточно большой, чтобы электрон перешел на один из свободных уровней, лежащих выше уровня Ферми. Электроны, занимающие, согласно распределению Ферми, энергетические уровни, лежащие значительно ниже уровня Ферми, не испытывают тепловое возбуждение. Возбуждение таким путем испытывают лишь те электроны, энергия которых находится вблизи уровня Ферми в интервале kBT.

Электроны, способные к возбуждению, ведут себя как простой газ с тепловой энергией, равной . Это позволяет решить проблему теплоемкости газа электронов проводимости.

При произвольной температуре величина ЕF определяется из условия, что сумма значений функцийF(E) по всем энергетическим уров-ням должна быть равна полному числу электронов в системе. Таким образом, зная энергии различных стационарных состоя-ний, мы можем вычислить EF.

Предположим, что газ свободных электронов заключен в прямоугольный параллелепипед с размерами A, B, Cвдоль трех координатных осей, компоненты волнового вектора, описывающие волновые функции, удовлетворяют периодическим граничным условиям. В этом случае должны выполняться следующие условия

где nx, ny, nz - целые числа.

Энергия плоской волны определяется выражением:

Поверхности постоянной энергии в k-пространстве имеют вид сфер с объемом

Объем k-пространства, связанный с одним дозволенным волновым вектором, составляет:

Обозначим через N(E) число состояний с энергией меньше Е. Число уровней с энергией меньше Е равно объему сферической поверхности энергии в k-пространстве, деленому на объем, связанный с одним состоянием. Отсюда получаемформулу

Эта формула дает число состояний с заданной ориентацией спина. В каждом таком состоянии могут находится два электрона с разными ориентациями спина. Таким образом энергия Ферми определяется следующим образом:

Вычислим плотность состояний, т.е. число состояний в интервале между Е и E+dE. Продифференцируем выражение для N(E) по Е:

Как видно, это выражение пропорционально . Оно дает число состояний с заданной ориентацией спина. Чтобы получить число состояний с обеими ориентациями спина данное выражений нужно увеличить вдвое.

Теперь можем найти число электронов в этом энергетическом интервале при любой температуре. Для этого необходимо удвоенное выражение для плотности состояний в интервале от EдоE+dE умножить на функцию Ферми. Получающаяся функция изображена на рисунке(рисунок 3.4) для температуры абсолютного нуля(случай а) и при более высоких температурах (случаи bи c).

Энергетическая зависимость число занятых уровней в газе свободных электронов при различных температурах

Рисунок 3.4 -- Энергетическая зависимость число занятых уровней в газе свободных электронов при различных температурах.

Видно, что при увеличении температуры от абсолютного нуля часть электронов переходит с уровней, лежащих ниже , в область более высоких энергий.

Число электронов, которые при изменении температуры от абсолютного нуля доТ перебрасываются с низших уровней на более высокие, будет пропорционально kBT и плотности состояний dN/dE на уровне Ферми. Энергия каждого из этих электронов увеличивается на величину, пропорциональ-ную kT. Таким образом, разность между энергией электронов при температуреТ и при абсолютном нуле равна:

где с-константа; E=EF.

Продифференцировав по данное выражение по температуре получим выражение для удельной теплоемкости:

Таким образом, применяя статистику Ферми-Дирака, видно, что удельная теплоемкость электронов при низких температурах пропорциональна абсолютной температуре, а не остается постоянной, как в классической статистике. Сравнивая формулы, полученные с помощью оговоренных статистик, видно, что пока величина kBTмала по сравнению с энергией Ферми, удельная теплоемкость электронов, согласно статистике Ферми-Дирака, будет гораздо меньше своего классического значения.

Мы видим, что статистика Ферми -- Дирака приводит к пони-жению удельной теплоемкости за счет множителя, который пропорционален температуре и даже при комнатной температуре имеет поря-док 10-2. Этим объясняется отсутствие наблюдаемого вклада элек-тронных степеней свободы в удельную теплоемкость металла при комнатной температуре.

Таким образом, статистика Ферми-Дирака, примененная Зоммерфельдом к классической модели металлов, устранила проблему теплоемкости электронов проводимости, которая была характерна для теории Друде.

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее