Статистика Ферми и проводимость металлов

Помимо малой величины удельной теплоемкости электронов, которую удалось объяснить Зоммерфельду, применив методы квантовой механики, Друде в своей теории столкнулся также с трудностями, связанными с механизмом электрического сопротивления. С помощью классической модели Друде не удавалось ответить на вопрос: почему сопротивление металла увеличи-вается пропорционально температуре. Обратимся к анализу проводимости электронного газа с помощью статистики Ферми-Дирака, который провел Зоммерфельд. Он использовал выражения для плотности состояний и выражение для функции Ферми. Таким образом, ответственными за проводимость могут быть только электроны с энергией, близкой к уровню Ферми. В остальном Зоммерфельд использовал те же предположения, что и Друде.

Применяя статистику Ферми-Дирака мы можем получить выражение для электропроводности, только выраженное через полную плотность электронов и характеристики электронов с энергией Ферми.

Это выражение имеет вид

Для распределения Ферми приложение электрического поля приводит к полному обеднению тонкой изогнутой области в k-пространстве и полностью заселяет зеркально симметричную ей область с противоположной стороны от заполненной части сферы Ферми (рисунок 3.5).

Распределение скоростей в пространстве электронного газа для состояния равновесия, и когда к нему приложено электрическое поле в x-направлении

Рисунок3.5 -- Распределение скоростей в пространстве электронного газа для состояния равновесия, и когда к нему приложено электрическое поле в x-направлении.

Все состояния с изменяющимся заполнением отвечают энергиям электрона, близким к энергии Ферми. Поэтому электропроводность зависит только от и .

Электропроводность можно выразить через среднее время свободного пробега электронов:

Это выражение по форме в точности совпадает с выражением, полученным в модели Друде. Отличие состоит только в определении величины . Для вырожденного электронного газа имеет значение среднее время свободного пробега только малой части всех электронов.

Средняя длина свободного пробега и другие свойства металлов

Используя хF в качестве типичной скорости электрона можно оценить среднюю длину свободного пробега :

Удельное сопротивление при комнатной температуре составляет от 1 до 100 мкОм*см, а величина обычно лежит в пределах от 2 до 6, следовательно, даже при комнатной температуре средняя длина свободного пробега может быть порядка сотни ангстрем.

Поскольку конкретный вид распределения электронов по скоростям не играет никакой роли при расчете статической и высокочастот-ной проводимости, коэффициента Холла и магнетосопротивления, их значения остаются неизменными независимо от того, использует-ся ли статистика Максвелла -- Больцмана или статистика Ферми -- Дирака.

Однако эти выводы несправедливы, если время релаксации зависит от энер-гии. Например, если предположить, что электроны сталкиваются с неподвиж-ными рассеивающими центрами, то тогда естественно считать, что длина сво-бодного пробега не зависит от энергии, поэтому время релаксации оказывается зависящим от энергии:

Вскоре после того, как Друде пред-ложил описывать металл моделью электронного газа, Лоренц воспользовался классическим распределением скоростей Максвелла -- Больцмана и показал, что если время релаксации зависит от энергии, что это должно приводить к тем-пературной зависимости статической и высокочастотной проводимостей, а так-же к отличному от нуля магнетосопротивлению и к коэффициенту Холла, кото-рый оказывается зависящим от поля и от температуры. Поскольку для метал-лов неприменимо классическое распределение по скоростям, ни одна из таких поправок, как и следовало ожидать, не смогла устранить глубокие расхождения между выводами модели Друде и экспериментальными фактами, относящимися к металлам.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >