Вероятность появления только одного события
Пусть даны три независимых события А1, А2, А3; р1, р2, р3 - их вероятности. Найдем вероятность появления только одного из них.
B1=(только А1)=А1* 2* 3
B2=(только А2)= 1* А2* 3
B3=(только А2)= 1* 2* А3
Т.к. В1, В2, В3 - несовместные, то
Р(только одного события)=Р(В1)+Р(В2)+Р(В3)
Т.к. А1, А2, А3 - независимые, то Д1, Д2, Д3 тоже
независимые. Р(1)=q1; P(2)=q2; P(3)=q3
Р(только одного соб.)=p1*q2*q3+q1*p2*q3+q1*q2*p3
Вероятность попадания в цель при стрельбе из
трех орудий: Р1=0,7 Р2=0,8; Р3=0,9. Найти вероятность того, что только одно орудие поразило цель.Р1=0,8; Р2=0,7; Р3=0,9; q1=0,2; q2=0,3; q3= 0,1
Р(только одного события)= 0,7*0,2*0,1+0,3*0,8*0,1+0,3*0,2*0,9=0,092
Наивероятнейшее число появления события А в n независимых испытаниях
Пусть производится n независимых испытаний.
,
где р - вероятность появления события А при одном испытании, q - вероятность не появления события А при одном испытании.
Число k при котором данная вероятность окажется большей будет называться наивероятнейшим числом появления события А.
Если: 1) (n*p-q) - дробное число, существует одно наивероятнейшее число ; 2) (n*p-q) - целое число, то существуют два наивероятнейших числа и ; 3) n*p - целое, то наивероятнейшее число .
Задача.
1) n=15; p=0,9; q=0,1
2) n=24; p=0,6; q=0,4
3) n=25; p=0,08; q=0,92
Вероятность суммы событий
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий = сумме вероятностей этих событий.
Доказательство:
N - число всевозможных исходов испытания
М1 - число исходов, благоприятствующих событию А; М2 - число исходов, благоприятствующих событию В.
Т.к. события несовместные, то в них не будет общих благоприятствующих исходов.
Мишень разделили на две области. Найти вероятность того, что стрелок попал в мишень.
Соб. А - попадание в обл. А
А В Соб. В - попадание в обл. В
Теорема. Вероятность появления одного из двух совместных событий или обоих вместе = сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.
Докажем с помощью диаграммы Венна.
Представим (А+В) и В через сумму двух несовместных событий. A+B=A+B*
B=A*B+B*
А А A+B=A+B-A*B
Аналогично с помощью диаграммы Венна можно доказать вероятность суммы трех совместных событий.
Вероятность попадания в цель при стрельбе из
трех орудий: Р1=0,8; Р2=0,7; Р3=0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена.
Событие А - цель поражена. Т.к. события совместные, то :
Р(А)=0,8+0,7+0,9-0,8*0,7-0,9*0,8-0,7*0,9+0,8*0,7*0,9=0,994
Формула полной вероятности
Событие А может произойти при условии появления одного из несовместных событий Н1, Н2,…, Нn, образующих полную группу событий. Их называют гипотезы.
Гипотезы исчерпывают все возможные предположения первого этапа опыта, а событие А это один из возможных исходов испытания второго этапа опыта.
Пусть известны вероятности гипотез: Р(Н1), Р(Н2), Р(Н3), …, Р(Нn) и условные вероятности события А:
Вероятность события А = сумме произведения вероятностей гипотез на соответствующие им условные вероятности.
Это Формула полной вероятности.
Задача. В двух ящиках содержится по 20 деталей, причем в первом 17 стандартных, а во втором 15 стандартных. Из второго ящика на удачу берется одна деталь и перекладывается в первый. Найти вероятность того, что извлеченная из первого ящика деталь окажется стандартной.
Гипотезы: Н1 - переложена стандартная деталь
Н2 - переложена нестандартная деталь
Р(Н1)=15/20
Р(Н2)=5/20
Событие А - из первого ящика извлекается стандартная деталь
