ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ

Вспомним известное из школьного курса математики определение: говорят, что целое число а делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число m, что а = bm.

Число а называется делимым, число b -- делителем, число m -- частным. В этом случае говорят также, что число а кратно числу b. Тот факт, что число а делится на число b, будем обозначать так: аb.

А теперь вспомним признаки делимости натуральных чисел:

-делимость натурального числа на 2 равносильна тому, что его последняя цифра четная;

-делимость натурального числа на 5равносильна тому, что его последняя цифра -- 0 или 5;

-делимость натурального числа на 10 равносильна тому, что оно оканчивается цифрой 0;

-делимость натурального числа на 25 равносильна делимости на 25 числа, образованного двумя его последними цифрами;

-остаток от деления натурального числа на 3 (на 9) совпадает с остатком от деления суммы его цифр на 3 (на 9);

-делимость натурального числа на 4равносильна делимости на 4 числа, образованного двумя его последними цифрами;

-делимость натурального числа на 8равносильна делимости на 8 числа, образованного тремя его последними цифрами;

-делимость натурального числа на 11 равносильна делимости на 11 разности между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах (другими словами, делимости на 11 знакочередующейся суммы всех его цифр).

Пример

К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное четырехзначное число делилось на 45. Найдите все решения.

Обозначим неизвестные цифры через а и b. Тогда четырехзначное число можно записать в виде.

По признаку делимости на 5 b = 0 или b = 5. Рассмотрим оба случая.

1) Пусть 6 = 0. Полученное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, равная а + 7, делится на 9. Отсюда а =2.

2) Пусть b = 5. Аналогично находим, что а = 6.

Ответ:

четырехзначное число равно 2430 или 6435

Задачи

1. Найдите все значения цифр, обозначенных звездочками, если число 4•8•2 делится на 88.

Ответ:

0,3 или 7,7

2. Найдите все значения цифр х и у, при которых число делится на 198.

Ответ:

х=1, у=0

3. Из натурального числа вычли сумму его цифр, а затем у полученной разности вычеркнули одну цифру. Сумма оставшихся цифр разности равна 131. Какую цифру вычеркнули?

Ответ:

4

4. У трехзначного числа, делящегося на 45, разность между второй и первой цифрами равна разности между третьей и второй. Найдите все такие трехзначные числа.

Ответ:

135, 630 или 765

5. Найдите все трехзначные числа, делящиеся на 11, у которых сумма цифр делится на 11.

Ответ:

209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902

6. Найдите все значения цифр а и b, при которых число делится на 99.

Ответ:

a=9, b=4

7. Найдите все значения цифры а, если число делится на 11.

Ответ: 4

8. Найдите наименьшее натуральное число, которое записывается одинаковыми цифрами и делится на 18.

Ответ:

666

9. Найдите наименьшее натуральное число, которое записывается

одинаковыми цифрами и делится на: а) 72, б) 693.

Ответ:

а) 888888888 б) 333333

10. Пятизначное число делится на 72, причем три его цифры -- единицы.

Найдите все такие числа.

Ответ:

41112, 14112, 11016, 11160

11. Пятизначное число делится на 315, причем три его цифры -- четверки.

Найдите все такие числа.

Ответ:

44415

12. Найдите значения х и у в числе 12х3у4, если оно кратно 599.

Ответ:

х=9, у=8

13. Какие две цифры можно приписать к числу 1313 справа, чтобы полученное шестизначное число делилось на 53?

Ответ:

5, 4 или 8, 7

14. Найти наименьшее натуральное число вида n3+3n2-4, делящееся на 19.

Ответ:

192•16=5776

15. Сколько существует двузначных чисел, делящихся на произведение своих цифр?

Ответ:

5 чисел: 11, 12, 24, 36, 15

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >