ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
Вспомним известное из школьного курса математики определение: говорят, что целое число а делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число m, что а = bm.
Число а называется делимым, число b -- делителем, число m -- частным. В этом случае говорят также, что число а кратно числу b. Тот факт, что число а делится на число b, будем обозначать так: аb.
А теперь вспомним признаки делимости натуральных чисел:
-делимость натурального числа на 2 равносильна тому, что его последняя цифра четная;
-делимость натурального числа на 5равносильна тому, что его последняя цифра -- 0 или 5;
-делимость натурального числа на 10 равносильна тому, что оно оканчивается цифрой 0;
-делимость натурального числа на 25 равносильна делимости на 25 числа, образованного двумя его последними цифрами;
-остаток от деления натурального числа на 3 (на 9) совпадает с остатком от деления суммы его цифр на 3 (на 9);
-делимость натурального числа на 4равносильна делимости на 4 числа, образованного двумя его последними цифрами;
-делимость натурального числа на 8равносильна делимости на 8 числа, образованного тремя его последними цифрами;
-делимость натурального числа на 11 равносильна делимости на 11 разности между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах (другими словами, делимости на 11 знакочередующейся суммы всех его цифр).
Пример
К числу 43 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное четырехзначное число делилось на 45. Найдите все решения.
Обозначим неизвестные цифры через а и b. Тогда четырехзначное число можно записать в виде.
По признаку делимости на 5 b = 0 или b = 5. Рассмотрим оба случая.
1) Пусть 6 = 0. Полученное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, равная а + 7, делится на 9. Отсюда а =2.
2) Пусть b = 5. Аналогично находим, что а = 6.
Ответ:
четырехзначное число равно 2430 или 6435
Задачи
1. Найдите все значения цифр, обозначенных звездочками, если число 4•8•2 делится на 88.
Ответ:
0,3 или 7,7
2. Найдите все значения цифр х и у, при которых число делится на 198.
Ответ:
х=1, у=0
3. Из натурального числа вычли сумму его цифр, а затем у полученной разности вычеркнули одну цифру. Сумма оставшихся цифр разности равна 131. Какую цифру вычеркнули?
Ответ:
4
4. У трехзначного числа, делящегося на 45, разность между второй и первой цифрами равна разности между третьей и второй. Найдите все такие трехзначные числа.
Ответ:
135, 630 или 765
5. Найдите все трехзначные числа, делящиеся на 11, у которых сумма цифр делится на 11.
Ответ:
209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902
6. Найдите все значения цифр а и b, при которых число делится на 99.
Ответ:
a=9, b=4
7. Найдите все значения цифры а, если число делится на 11.
Ответ: 4
8. Найдите наименьшее натуральное число, которое записывается одинаковыми цифрами и делится на 18.
Ответ:
666
9. Найдите наименьшее натуральное число, которое записывается
одинаковыми цифрами и делится на: а) 72, б) 693.
Ответ:
а) 888888888 б) 333333
10. Пятизначное число делится на 72, причем три его цифры -- единицы.
Найдите все такие числа.
Ответ:
41112, 14112, 11016, 11160
11. Пятизначное число делится на 315, причем три его цифры -- четверки.
Найдите все такие числа.
Ответ:
44415
12. Найдите значения х и у в числе 12х3у4, если оно кратно 599.
Ответ:
х=9, у=8
13. Какие две цифры можно приписать к числу 1313 справа, чтобы полученное шестизначное число делилось на 53?
Ответ:
5, 4 или 8, 7
14. Найти наименьшее натуральное число вида n3+3n2-4, делящееся на 19.
Ответ:
192•16=5776
15. Сколько существует двузначных чисел, делящихся на произведение своих цифр?
Ответ:
5 чисел: 11, 12, 24, 36, 15
