ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
Вспомним соответствующие определения.
Натуральное число, большее 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя. Натуральное число называется составным, если оно имеет больше двух различных делителей.
Принято считать, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам. Отсюда следует, что множество натуральных чисел можно разбить на такие три подмножества: множество простых чисел, множество составных чисел и множество, содержащее единственный элемент 1.
Справедлива следующая теорема.
Любое натуральное число, большее 1, можно, и притом единственным образом, представить в виде произведения простых чисел.
Это предложение называется основной теоремой арифметики натуральных чисел.
Среди простых делителей натурального числа могут быть равные, и их произведение можно записать в виде степени. Тогда разложение натурального числа а на простые множители можно представить в следующем виде:
где -различные простые числа, -натуральные.
Пример 1:
Натуральные числа а и b таковы, что 31a=54b. Докажите, что число а + b составное.
Так как число 31а делится на 54 и числа 31 и 54 -- взаимно простые, то а делится на 54: а = 54n, где nN. Тогда 31•54•n = 54b, b= 31n.
Отсюда a+b=54n+31n=85n, а следовательно, число а + b является составным.
Пример 2:
Найдите все натуральные n, при которых число а2- 10a + 21 простое.
Разложим этот квадратный трехчлен на линейные множители:
а2- 10a + 21=(a-3)(a-7)
Отсюда видно, что данное число, вообще говоря, составное. А когда оно простое? Когда один из множителей равен 1, а другой -- простому числу или когда один из них равен -- 1, а другой равен --p, где число р -- простое. Переберем все случаи.
1)Пусть a-3= 1.
Тогда а = 4, откуда а -7 = -3. Получилось, что число а2 - 10a + 21 отрицательно. Значит, этот случай невозможен.
2)Пусть a-7= 1.
Тогда а = 8, а - 3 = 5, где 5 -- число простое. Следовательно, значение а = 8 удовлетворяет требованию задачи.
3) Положим а-3 = -1.
В этом случае а = 2, а-7 = -5. Так как число 5 -- простое, то значение а = 2 также
подходит.
4) Пусть а-7 = -1.
Тогда а = 6, а-3 = 3. Поскольку здесь (а -- 3)(а -- 7) < 0, то этот случай невозможен.
Ответ:
8, 2
Задачи:
1. Простое число разделено на 21 с остатком. Найдите все значения остатка, являющиеся составными числами.
Ответ:
4, 8, 10, 16, 20
2. Может ли быть составным числом остаток от деления простого числа на а) 30 б) 60
Ответ:
а) не может б) может, если остаток равен 49
3. Простое или составное число 280+380?
Ответ:
составное
4. Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ab=cd. Может ли число a+b+c+d быть простым?
Ответ:
не может
5. Является ли число 49+610+320 простым?
Ответ:
является
6. Найти такое простое число p, что p2+9 тоже простое.
Ответ:
р=2
7. Простым или составным является число 202007+1?
Ответ:
составным
8. Найти все целые n, при которых модуль числа n2-7n+10--число простое.
Ответ:
3, 4
9. Найти все натуральные n, при которых число n4+4 составное.
Ответ:
все n?1
10. Найти все целые х, для которых 8•3-12•2+6х-217 простое число.
Ответ:
при х=4
11. На какое наибольшее число натуральных слагаемых можно разложить число 96 так, чтобы все слагаемые были больше 1 и попарно взаимно просты?
Ответ:
на 7
12. Доказать, что для любого натурально n найдется такое число а, что an+4 составное.
Указание:
достаточно взять а=n+4
13. P и Q--различные простые числа. Сколько делителей у числа
а) PQ б) P2Q в) P2Q2 г) PnQm?
Ответ:
а) 4 б) 6 в) 9 г) (n+1)(m+1)
14. P--простое число. Сколько существует натуральных чисел
а) меньших P и взаимно простых с ним
б) меньших P2 и взаимно простых с ним
Ответ:
а) условия выполняются для Р-1 числа б) выполняются для Р(Р-1) числа
15. Натуральные числа а и b удовлетворяют условию 15а=32b. Может ли число а-b быть простым?
Ответ:
Может, если а=32, b=15
