СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Здесь мы встретимся с задачами на степени целых, главным образом натуральных чисел с натуральными показателями.
Назовем точной степенью степень целого числа с натуральным показателем, большим 1. В частности, квадрат и куб целого числа будем называть точным квадратом и точным кубом.
Пример 1:
Сумма двузначного числа и его обращенного -- точный квадрат. Найдите все такие числа.
Сложим двузначное число ab с его обращенным:
+ = (10а + b) + (10b + а) = 11(а + b)
Так как число 11(а + b) -- точный квадрат, то сумма а + b делится на 11. Но поскольку а и b являются цифрами, то она равна 11: а + b = 11.
Далее нетрудно перебрать все возможные случаи, связанные с а и b.
Ответ:
29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92
Пример 2:
Натуральное число записывается с помощью 10 шестерок и нескольких нулей. Может ли оно быть точной степенью?
Сумма цифр этого числа равна 60. Тогда на основании признаков делимости на 3 и на 9 число делится на 3, но не делится уже на 32= 9. Следовательно, оно не является ни точным квадратом, ни точным кубом, ни вообще точной степенью с каким-либо натуральным показателем, большим 1.
Ответ:
не может
Задачи:
1. Какой точный квадрат равен произведению четырех последовательных нечетных чисел?
Ответ:
9=(-3)•(-1)•1•3
2. Может ли произведение n(n+1) при каком-либо натуральном n быть точной степенью?
Ответ:
не может
3. Четырехзначное число -- точный квадрат, причем две первые его цифры одинаковы и две последние тоже одинаковы. Найдите все такие числа.
Ответ:
7744=822
4. Натуральное число оканчивается на 316. Может ли оно быть точным кубом?
Ответ:
не может
5. Найдите наибольшее значение n, при котором последовательность с общим членом хn=n2-n+19 является точным квадратом?
Ответ:
n=19
6. Разность между трехзначным числом и суммой его цифр есть полный квадрат. Найти все такие числа.
Ответ:
для у2 возможны значения 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Из этих значений всего получим 70 чисел
7. Найдите двузначное число, если сумма его цифр состоит из одинаковых чисел, а сумма квадратов его цифр, увеличенная на 10, равна самому числу.
Ответ:
83
8. При каких значениях a и b многочлен х4+ах3+bx2-8x+1 обращается в точный квадрат?
Ответ:
а1=-8, а2=8, b1=18, b2=14
9. Какие остатки могут давать при делении на 4: а) сумма; б) разность двух точных квадратов?
Ответ:
а) 0, 1 или 2 б) 0, 1 или 3
10. Существует ли такое натуральное n, что 6n -- точный куб, а 8n -- точная четвертая степень?
Ответ:
существует, например n=209952
11. Наборщик рассыпал часть набора -- набор пятизначного числа, являющегося точным квадратом, записывающимся цифрами 1, 2, 5, 5 и 6. Найдите все такие пятизначные числа.
Ответ: 1252=15625
12. Верно ли, что число 2004•2005•2006•2007+1 является точным квадратом?
Ответ:
верно
13. Доказать, что выражение является целым числом--квадратом.
Ответ:
А=4=22
14. Показать, что многочлен (х+а)(х+2а)(х+3а)(х+4а)+а4 есть квадрат трехчлена.
Указание:
показать, что данный многочлен имеет вид (х2+Вх+Са2)2. Далее раскрыть скобки.
15. Существует ли четырехзначное число-квадрат, у которого сумма цифр равна числу, образованному первыми двумя цифрами, причем, первые два и последние два числа, также являются квадратами.
Ответ:
1681
