УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
В данной теме мы займемся решением уравнений первой степени с двумя неизвестными в целых числах. Общий вид такого уравнения:
ах + by = с,
где а, b, с -- данные целые числа, х и у -- неизвестные, принимающие только целые значения.
Пример:
Имеются контейнеры двух видов: по 130 кг и 160 кг. Сколько было контейнеров первого и сколько второго вида, если вместе они весят 3 тонны? Укажите все решения.
Обозначим количество контейнеров первого вида через х, второго -- через у.
Получаем уравнение
130х + 160у = 3000, 13х+ 16у = 300.
Попробуем воспользоваться делимостью на 13. Для этого 16у представим в виде
13у + 3у, а 300 разделим на 13 с остатком:
13х+13у + 3у=13•23+ 1, 13у- 1 = 13•23-13х-13у.
Правая часть последнего уравнения делится на 13, следовательно, и левая его часть должна делиться на 13. Для того чтобы найти значения у, при которых разность 13у - 1 делится на 13, применим перебор. При этом проще не придавать у последовательные значения 1, 2, 3 и т. д., а приравнивать 13у - 1 к числам, делящимся на 13: 13, 26, 39, 52, 65 и т. д., выясняя каждый раз, является ли корень соответствующего уравнения целым или дробным. Целые корни получаются в следующих случаях:
Зу-1 = 26, у = 9; Зу-1 = 65, у = 22
и др. Но уже значение у = 22 слишком велико, так как в этом случае 16у=16•22 = 352>300.
При у = 9 из уравнения можно найти х: 13х+16•9 = 300, 13х=156, х=12.
Ответ:
12 контейнеров по 130 кг и 9 по 160 кг
Задачи:
1. Решите в целых числах уравнения:а) ху - Зх + 2у = 13; б) ху = 5х + 4у + 3; в)
Ответ:
а) (5, 4), (-1, 10), (-9, 2), (-3, 4)
б) (5, 28), (3, -18), (27, 6), (-19, 4)
в) (6, 30), (30, 6), (4, -20), (10, 10), (-20, 4)
2. Длины сторон прямоугольника выражаются целыми числами, а периметр численно равен площади. Найдите все такие прямоугольники.
Ответ:
длины сторон прямоугольника равны 6, 3 или 4, 4
3. Решите в целых числах уравнение 3ху+у=7х+3
Ответ:
(0, 3), (-1, 2)
4. Решите в целых числах уравнения:
а) х + у = 2ху б) х + 2у = 3ху + 1.
Ответ:
а) (1, 1), (0, 0) б) (1, 0)5.Решите в натуральных числах уравнение
Ответ:
(999, 999•1997), (999•1997, 999), (1997, 1997)
6. На базе имеются несколько грузовых автомобилей одинаковой грузоподъемности, выражающейся целым числом тонн. Для перевозки груза каждый автомобиль сделал одно и то же число рейсов, а затем 7 машин сделали еще по 12 рейсов каждая. Если бы каждая машина сделала на 6 рейсов больше, то для перевозки в два раза меньшего груза потребовалось бы на 7 машин меньше. Сколько автомобилей было на базе?
Ответ:
14
7. Решить систему уравнений
+=7
3х+2у=23
Ответ:
(5, 4), (-9, 25)
8. Решить уравнение в целых числах х+у=ху
Ответ:
(0, 0), (2, 2)
9. Определите день и месяц рождения некоего человека, если у него сумма произведений числа месяца на 12 и номера месяца на 31 равна 436.
Ответ:
26 апреля
10. При стрельбе по мишени стрелок выбивает только по 8, 9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил 100 очков. Сколько выстрелов сделал стрелок, и какие были попадания?
Ответ:
12 выстрелов, 9 попаданий по 8 очков, 2--по 9, 1--10 очков
11. Решите в целых числах х и у уравнения:
а) 11х + 7у = 1; б) 11x-60у = 7; в) 81х+25у=1
Ответ:
а) х=2-7t, y=11t-3 (t)
б) x=60t+17, y=11t+3 (t)
в) x=25t-4, y=13-81t (t)
12. Найдите все решения уравнения 5х-7у=3 в целых числах х и у.
Ответ:
x=7t-12, y=5t-9, где t--любое целое число
13. Сколько точек с целочисленными координатами, удовлетворяющими условию х > 0,
у > 0 лежит на прямой:
а) Зх + 4у = 133; б) 7х + 24у = 1408?
Ответ:
а) 11 б) 8
14. Пол шириной 3 м нужно устлать досками шириной 11 и 13 см так, чтобы между ними не оставалось промежутков. Сколько нужно досок того и другого размера?
Ответ:
19 досок первого размера, 7--второго или 6 досок первого размера, 18--второго
15. Требуется проложить трассу газопровода на участке длиной 450 м. В распоряжении строителей имеются трубы длиной 9 и 13 м. Сколько труб той и другой длины нужно взять для прокладки трассы, чтобы число сварных швов было минимальным? Трубы резать не следует.
Ответ:
11 девятиметровых и 27 тринадцатиметровых труб
