МНОГОЧЛЕНЫ
Многочлен--это алгебраическая сумма одночленов. Степень многочлена есть наибольшая из степеней одночленов, входящих в данный многочлен.
Произведение суммы двух или нескольких выражений на любое выражение равно сумме произведений каждого из слогаемых на это выражение:
(p+q+r)a=pa+qa+ra--раскрытие скобое
Вместо букв p, q, r, a может быть взято любое выражение.
Произведение сумм равно сумме всех возможных произведений каждого слогаемого одной суммы на каждое слогаемое другой суммы.
Пример:
Найдите все целые а, при которых дробь равна целому числу.
Разделим почленно числитель дроби на знаменатель:
Представление алгебраической дроби в виде суммы многочлена и дроби с тем же знаменателем, у которой степень числителя меньше степени знаменателя, называется выделением целой части дроби; многочлен и называется целой частью дроби.
В данном случае целая часть дроби равна а-21. Так как разность а- 21 при всех целых а принимает целые значения, то вопрос задачи сводится к следующему: при каких целых а дробь -- равна целому числу?
Для полного ответа на этот вопрос нужно перебрать все делители числа 17, включая и целые отрицательные.
Получаем числа: 1, --1, 17, --17.
Ответ:
±1,± 17
Задачи:
1. Разложить многочлен х9 + х8 + х7 - х3 + 1 на множители.
Ответ:
(х2+х+1)(х2-х+1)
2. Разложить многочлен на множители с целыми коэффициентами.
Ответ:
3. Разложить на множители
Ответ:
4. При каких значениях а и b многочлен делится на
Ответ:
a=2019, b=24084, c=12
5. Разложить на множители многочлен
Ответ:
6. Разложить на множители выражение
Ответ:
7. При каких значениях параметров m и n многочлен делится без остатка на
Ответ:
m=-3, n=-2
8. Разложить на множители
Ответ:
9. Найдите все значения х, при которых многочлен 2х2-х-36 принимает значения, равные квадратам простых чисел.
Ответ:
х=5 и х=13
10. При каких ограничениях на целые числа p и q
а) многочлен Р(х)=х2+px+q принимает при всех х четные (нечетные) значения
б) многочлен Q(x)=x3+px+q принимает при всех х значения, делящиеся на 3?
Ответ:
а) при нечетном p и четном q (соответственно) б) при условиях q0 (mod 3), p2 (mod 3)
