ПЛАНИМЕТРИЯ

Планиметрия (от лат. planum -- плоскость и... метрия), часть элементарной геометрии, в которой изучаются свойства фигур, лежащих в плоскости. Обычно под планиметрией понимают часть курса геометрии в средней школе. Содержание планиметрии и способ её изложения были установлены древнегреческим учёным Евклидом(3 в. до н. э.)

Фигуры, изучаемые планиметрией:

· Точка--абстрактный объект в пространстве, обладающий координатами, но не имеющий размеров, массы, направленности и каких-либо других геометрических или физических характеристик. Одно из фундаментальных понятий в математике и физике.

· Прямая--одно из основных понятий геометрии. При систематической изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

· Параллелограмм (частные случаи Квадрат, Прямоугольник, Ромб) (от греч. parallelos -- параллельный и gramme -- линия) -- это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

· Трапеция --геометрическая фигура, четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами . Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции

· Окружность--замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра окружности), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

· Треугольник--простейший многоугольник, имеющий 3 вершины и 3 стороны; часть плоскости, ограниченная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, попарно соединяющими эти точки.

· Многоугольник--это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений, однако иногда самопересечения допускаются. Иногда многоугольник определяется как замкнутая область плоскости ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки -- сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Пример:

Две окружности касаются внешним образом. К первой из них проведена касательная, проходящая через центр второй окружности. Расстояние от точки касания до центра второй окружности равна утроенному радиусу этой окружности. Во сколько раз длина первой окружности больше длины второй окружности ?

Пусть О1 и О2 - центры окружностей, А - точка касания. Тогда О1А=R1, О1О2 = R1+R2, О2А=3ЧR2 (по условию). Требуется найти отношение . В прямоугольном треугольнике О1АО2 (РА - прямой) имеем , или . Упростив это равенство, получим , откуда .

Ответ:

в 4 раза

Задачи:

1. Три стороны трапеции равны по 10 дм, а острый угол равен 60°. Найти длину отрезка, соединяющего центр вписанной окружности с вершиной меньшего основания.

Ответ:

10 дм.

2. Найдите площадь прямоугольника ABCD, если SДAMD = 33 см2 , CK=BK.

Ответ:

33 см2

3. Диагонали параллелограмма равны 16 м и12 м, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.

Ответ:

48 м2

4. В параллелограмме АСВМ АС = 16 м, СВ = 24 м, СЕ и CF -- соответственно высоты, проведенные к сторонам AM и ВМ, яECF = 60°. Найти длину высоты СЕ.

Ответ:

8 см.

5. По трем медианам ma, mb и mc ДABC, найти длину стороны АС = b.

Ответ:

6. Основания трапеции а и b. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Ответ:

(a-b)

7. Найти длину средней линии прямоугольной трапеции, вписанной в окружность, если расстояния от центра окружности до концов большей боковой стороны равны соответственно 6 и 8 дм.

Ответ:

9,8 дм.

8. Найти площадь заштрихованной фигуры.

Ответ:

40,5 дм2

9. На стороне АВ равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) взяли точки N и M (N ближе к В, чем М), такие, что NM=AM и яMAC=яBAN. Найдите угол CAN.

Ответ:

60°

10. Трапеция АВСD с основанием ВС и AD описана около окружности. Известно, что яBCD=2яBAD. Найдите отношение .

Ответ:

2

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >