УРАВНЕНИЯ

Уравнемние -- равенство вида или , где f и g -- функции (в общем случае -- векторные) одного или нескольких аргументов. Решение уравнения -- задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

Аргументы заданых функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».

Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями, или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Равносильными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней.

Пример:

Решить уравнение:

.

Сложим дроби, расположенные в левой части уравнения:

.

Приравняем к нулю числитель полученной дроби:

.

Преобразовав и упростив левую часть, получим биквадратное уравнение:

.

Решим ее обычным способом, найдем:

; и .

Следовательно, имеем:

Ни одно из этих чисел не обращает в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении. Значит, эти числа и представляют собой искомые корни. Итак, данное уравнение имеет следующие четыре корня:

, , , .

Рассмотрим несколько способов решения систем алгебраических уравнений. Пусть надо решить систему уравнений:

I способ (графический). Построим в одной координатной плоскости графики функций  и  (рис. 3). Эти графики пересекаются в четырех точках. Абсциссы и ординаты точек пересечения являются корнями данной системы уравнений. Из рис.3 видно, что значения корней следующие: .

II способ (аналитический). Умножим второе уравнение на 2 и сначала сложим с первым, а затем вычтем из первого. Получим:

 или

Задача сводится к системе линейных уравнений с двумя неизвестными:

то есть

Применяя к полученным системам метод сложения (т.е. сперва сложим эти уравнения, а далее вычтем из первых - вторые), получим:

 т.е. тот же ответ.

Рассмотрим еще один пример решения системы уравнений графическим и аналитическим способами.

Пусть надо решить систему уравнений:

I способ (графический). Построим в одной координатной плоскости графики функций  и  (рис.4). Эти графики также пересекаются в четырех точках .

II способ (аналитический). Если применить метод подстановки, т.е. подставить в первое уравнение значение переменной , выраженное через , после некоторых упрощений получим биквадратное уравнение:

,

или в каноническом виде: .

Корни последнего уравнения нетрудно найти: .

Откуда, путем обратной подстановки в выражение  значений , находим: .

Итак, мы получили тот же ответ: .

Задачи:

1. Решить уравнение: х+

Ответ:

-2

2. Найти по крайней мере 19 решений уравнения у2= х2 + х3 в целых числах.

Ответ:

соотношения х=а2-1 и у=а(а2-1) задают бесконечную серию решений

3. Решить в натуральных числах уравнение х3 - 27у3= 37.

Ответ:

(4, 1)

4. Решить уравнение (6х2- 7х2)2 - 2(6х2 - 7х) - 3 = 0.

Ответ:

х1=, х2=, х3=1, х4=

5. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений:

имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

При любом а, кроме а=0 и а=

6. Решить уравнение

Ответ:

х=, n

7. Решить уравнение

cos 2007°+cos 27°+tg 30°·=-3sin 30°

Ответ:

х1, 2=2

8. Решить уравнение

Ответ:

х=2, х=

9. Решить уравнение

Ответ:

х=8, m

10. При каких значениях параметрам система уравнений

имеет бесконечное множество решений?

Ответ:

при а=2 и а=-1

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >