НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
1. Натуральные числа а, b и с таковы, что НОК(а, b)=60 и НОК(а, с)=270. Найти НОК(b, с).
Ответ:
540, 108
2. Чему равен наибольший общий делитель всех чисел 7n+2+82n+1 (n)?
Ответ:
57
3. При каком наименьшем натуральном п каждая из дробей
несократима?
Ответ: 28
4. Пусть a1, a2, ..., а10 -- натуральные числа, сумма которых равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель?
Ответ:
91, когда 9 чисел равны 91, а десятое -182
ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
1. Докажите, что любое число вида а=101010...101 (n нулей, n + 1 единица, где n > 1) составное.
Указание:
рассмотрите 2 случая 1) n-четно 2) n-нечетно
2. Какое наибольшее число простых чисел может быть среди 15 последовательных натуральных чисел, больших 2?
Ответ:
6
3. Составьте из простых чисел все возможные арифметические прогрессии с разностью 6 и числом членов, большим 4.
Ответ:
5, 11, 17, 23, 29
4. Найдите все простые p, при которых являются простыми числа:
Ответ:
а) 3 б) 3
5. Найдите все простые р, при которых являются простыми числа:
Ответ:
а) 2 б) 3 в) 3 г) 5 д) 5
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЦИФР НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
1. Восстановите запись:
Ответ:
а) 1431:27=53 б) 100034:34=9094
2. Восстановите деление с остатком, где все девять цифр различны:
Ответ:
3. В примере на сложение ¦+¦+__=^^^ различные фигурки обозначают различные цифры. Какую цифру заменяет квадратик?
Ответ:
6
4. Расставить цифры 1, 2, …, 8 в клетки неполного квадрата так, чтобы получилась одинаковая сумма по горизонтали, вертикали и большой диагонали.
Ответ:
|
4 |
8 |
|
|
2 |
3 |
7 |
|
6 |
1 |
5 |
ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
1. Какой остаток дает 46925 при делении на 21?
Ответ:
4
2. Найдите остаток от деления:
Ответ:
а) 25 б) 5 в) 1944
3. Найдите остаток от деления числа на 13, где число р-- простое.
Ответ:
р=2, р=3
4. Число 20012001 разбили на несколько слагаемых, являющихся натуральными числами, возвели эти слагаемые в куб и полученную сумму кубов разделили на 6. Какой получится остаток?
Ответ:
3
5. Найдите остаток отделения на 3 числа
Ответ:
2
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
1. Найдите все пятизначные числа, которые являются точными квадратами и остаются точными квадратами при зачеркивании первой, двух первых или трех первых цифр.
Ответ:
81225, 34225, 27225, 15625, 75625
2. Четырехзначное число является точным квадратом. Если отбросить его последнюю цифру или две первые, то получаются также точные квадраты. Найдите все такие числа.
Ответ:
3249=572
3. Найдите все точные степени числа 2, которые встречаются среди чисел вида 6n + 8(n = 0, 1,2,...).
Ответ:
степень числа 2 с любым нечетным натуральным показателем, большим 1
4. Найдите все натуральные я, при которых числа вида n2 -- n+ 41 являются точными квадратами.
Ответ:
n=41
5. Найдите все натуральные я, при которых число 2n + 3n + 4n является точным квадратом.
Ответ:
n=1
