Многомерные случайные величины
В практических задачах приходится сталкиваться со случаями, когда результат описывается двумя и более случайными величинами, образующими систему случайных величин (случайный вектор). Например, точка попадания снаряда имеет две координаты: х и у, которые можно принять за систему случайных величин, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий Щ.
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины можно представить в виде таблицы, характеризующей собой совокупность всех значений случайных величин и соответствующих вероятностей:
|
x1 |
x2 |
… |
xn |
У P(yj) |
|
|
y1 |
P(x1,y1) |
P(x2,y2) |
… |
P(xn,y1) |
P(y1) |
|
y2 |
P(x1,y2) |
P(x2,y2) |
… |
P(xn,y2) |
P(y2) |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
ym |
P(x1,ym) |
P(x2,ym) |
… |
P(xn,ym) |
P(ym) |
|
У Pxi |
P(x1) |
P(x2) |
… |
P(xn) |
1 |
В общем случае двумерная случайная величина задается в виде интегральной функции, которая означает вероятность попадания двумерной случайной величины в квадрант левее и ниже точки с координатами (х, y):
F(x, у) = Р(Х<х, Y<y).
Свойства интегральной функции
1. F - не убывает и непрерывна слева по каждому аргументу.
2. F(-?, у)= F(x,-?)= F(-?, -?)= 0.
3. F(+?, у)= F2(y) - функция распределения случайной величины Y. F(x,+?)= F1,(x) - функция распределения случайной величины X.
4. F(+?,+?)=l.
Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник определяется исходя из определения интегральной функции двумерной случайной величины:
Р((х, у) c D) = F(в,д) - F(б,в) - F(в,г) + F(б,г).
Рис. Вероятность попадания точки (х, у) в прямоугольник D
Случайные величины X, Y независимы, если
F(x, у) = = F1(x)* F2(y).
Дифференциальная функция системы двух непрерывных случайных величин определяется как вторая смешанная производная функции распределения:
f(x,y)=(?2F(x,y))/?x?y=F?xy(x,y).
Свойства дифференциальной функции:
l.f(x,y)>0;
Геометрически свойство 2 означает, что объем тела, ограниченного поверхностью f (x, у) и плоскостью XOY, равен 1.
Если случайные величины X и Y независимы, то
f(x,y) = f1(x) f2(y), где f1(x)=F'1(x),f2(y)=F'2(y).
В противном случае
f ( x , у ) = f1( x ) f ( y / x )
или f ( x, y) = f2( y ) f (x / y ),
где f(y/x)=f(x,y)/f1(x) - условная дифференциальная функция CB Y при заданном значении
X = x, f(y/x)=f(x,y)/f2(x) - условная дифференциальная функция СВ X при заданном значении Y= у;
- дифференциальные функции отдельных случайных величин X и Y, входящих в систему.
