Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников

ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Понятие предела. предел суммы, произведения и частного. Предел сложной функции. Вычисление пределов. Замечательные пределы. Понятие непрерывности в точке и на интервале. Точки разрыва. Геометрический смысл. Непрерывность суммы , произведения и частного функций. непрерывность сложной функции. Непрерывность элементарных функций.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа можно найти такое положительное число , что для всех x из -окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в -окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа можно найти такое положительное число , что для всех x, удовлетворяющих условию

0 < x - x0 < ,

выполняется условие

y - A < .

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой

.

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x = x0, если она определена в этой точке и ее значение f(x0) равно пределу функции в этой точке: .

Функция y = x2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция не является непрерывной в точке x = 2. Функция не является непрерывной в точке x = 0.

Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке.

Cвойства предела функции.

1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2. , если C -- постоянная функция.

3. Если существует и C -- постоянная функция, то

.

4.  Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует, равный .

Число B называется пределом функции f(x) в точке a справа (это записывается в виде формулы  ), если для любого положительного числа найдется положительное число , такое что из из условия 0 < x - a <  будет следовать B -f(x)  < .

Согласно приведенному определению .

Число С называется пределом функции f(x) в точке b слева (это записывается в виде формулы  ), если для любого положительного числа найдется положительное число такое, что из условия 0 < b - x <  будет следовать C - f(x) < .

Функция f(x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если

().

Функция непрерывна справа в точке x=0.

Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;

Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

,

если для любого положительного числа можно найти такое положительное число M (зависящее от ), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

f(x) - A < .

Пусть теперь функция f(x) определена на полу бесконечном промежутке
(-; х0). Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к минус бесконечности:

,

если для любого положительного числа можно найти такое положительное число M (зависящее от ), что для всех чисел х, меньших, чем - М, выполняется условие:

f(x) - A < .

Два, так называемых, "замечательных предела".

1.  . Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая является касательной к графику функции в точке .

2.  . Здесь e -- иррациональное число, приблизительно равное 2,72.

Вопросы для самопроверки.

1. Приведите пример функции, не имеющей предела в данной точке.

2. При каких условиях из существования пределов слева и справа следует существование предела функции в данной точке.

3. Какова связь между понятиями предела функции и бесконечно малой функции?

4. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией?

5. Приведите примеры бесконечно малых функций: эквивалентных, одного порядка, разного порядка малости.

6. Чему равен предел суммы четырех функций?

7. В чем различие между понятиями предела и непрерывности функции в точке?

8. При каких условиях непрерывна сложная функция?

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее