Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Основы теории вероятности и математической статистики

Алгебра событий

О.1: Суммой двух событий Aи B называется событие C=A+B, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A или B. Если события Aи B совместные, то их сумма означает наступление или события A, или события B, или обоих событий Aи B. Если события Aи Bнесовместные, то их сумма означает наступление или события A, или события B. О. 2: Произведением двух событий Aи B называется событие C=AB, состоящее в одновременном появлении A и B.

Аналогично определяются сумма и произведение n событий. Свойства суммы и произведения событий: Пусть даны следующие события: 1)D - достоверное; 2) H - невозможное;

3) A - случайное; 4) - противоположное A. Тогда справедливы следующие соотношения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) . Пример 8: Произведено два выстрела по мишени. Событие А={попадание при первом выстреле}; Событие В={попадание при втором выстреле}; Событие; Событие А•В={попадание ил при обоих выстрелах}

Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей

О. 1. Два события Aи B называются зависимыми, если вероятность появления каждого из них зависит от того, появилось ли другое событие или нет. О. 2. Два события Aи B называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось ли другое событие или нет. О. 3. Вероятности независимых событий называются безусловными. Пусть Aи B зависимые события. О.4. Условной вероятностью события B называется вероятность этого события, вычисленная в предположении, что событие A уже произошло. Обозначается или PA(B). Условная вероятность события A определяется аналогично. Теорема 1. Если Aи B независимые события, то их условные вероятности совпадают с обычными вероятностями, т. е , . Пример 1. В ящике находятся 10 красных шаров и 5 синих. Последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что второй извлеченный шар синий, если: выборка осуществляется без возвращения; выборка осуществляется с возвращением. Решение: Событие A - {1-й извлеченный шар красный}; Событие B - {2-й извлеченный шар синий}.

В первом случае события Aи B зависимые, а во втором не зависимые. 1) ; 2) . Пусть даны два события Aи B и требуется найти вероятность их совместного появления. Теорема 2. Если Aи B зависимые события, то вероятность их совместного появления (произведения) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т. е. , .

Следствие: Вероятность совместного появления (произведения) нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже произошли, т. е.

*.

Пример 2. В урне 10 красных, 5 синих и 3 зеленых шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится синий шар, при втором - красный и при третьем - зеленый шар. Решение: События зависимые. Событие A -;{1-й извлеченный шар синий} Событие B -{2-й извлеченный шар красный}; Событие C - {3-й извлеченный шар зеленый} Теорема 3. Если события Aи B независимые, то вероятность их совместного появления (произведения) равна произведению их вероятностей, т. е. . Следствие: Вероятность совместного появления (произведения) нескольких независимых событий равна произведению вероятностей данных событий, т. е.

Пример 3. В примере 2 выборка осуществляется с возвращением. Решение. События независимые

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее