Формула Бернулли

О. 1. Если проводится несколько испытаний, причем вероятность появления события A в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события A. Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых возможно только два исхода: либо событие A появится, либо нет.

Условимся считать, что вероятность события A в каждом испытании одна и та же и равна p. Тогда вероятность ненаступления события A в каждом испытании так же постоянна и равна 1-p=q. Выше описанная совокупность условий называется схемой независимых испытаний Бернулли. Теорема 1. Если вероятность p наступления события A в каждом из независимых испытаний постоянна, то вероятность Pn(k) того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, вычисляется по формуле .

Пример 1. В результате обследования были выделены семьи, имеющие по четыре ребенка. Считая вероятность появления мальчика в семье равной 0.515, определить вероятность появления в ней двух мальчиков. Решение: .

Формула Пуассона

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и равна p, причем p<0.1, то применение формулы Муавра-Лапласа становится невозможным. Теорема 1. Если вероятность p появления события A в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний, причем произведение np сохраняет постоянное значение, т. е. np=a, то вероятность Pn(k) того, что в n независимых испытаниях событие A появится k раз удовлетворяет предельному равенству

(2).

Строго говоря, условие теоремы 2: р>? при n>?, нарушает исходные предпосылки в схеме независимых испытаний Бернулли, в которой p=const. Однако, если вероятность p постоянна и достаточно мала, а число n испытаний велико, причем произведение a=np незначительно, то из предельного равенства (2) можно записать приближенную формулу Пуассона: . Пример 3. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0.002. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено три изделия. Решение: В данном случае формула Бернулли не применима, т. к. придется возводить 0. 002 в 500-ю степень. ;.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >