Плотность распределения вероятностей и её свойства

О.1. Плотностью распределения вероятностей (дифференциальной функцией) непрерывной случайной величины называется функция , равная первой производной от функции распределения , т.е. . Свойства функции : 1. Плотность распределения неотрицательная функция, т.е. .

2. Несобственный интеграл от плотности распределения на интервале равен единице, т.е. . 3.Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то .4. Вероятность попадания случайной величины в интервал может быть вычислен по формуле (Ньютона-Лейбница):

.

5. Если известна плотность распределения , то функция распределения может быть найдена по формуле:

Числовые характеристики НСВ

Пусть непрерывная случайная величина задана плотностью распределения . Тогда аналогично ДСВ для НСВ могут быть определены числовые характеристики. О.1. Математическим ожиданием НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называют определенный интеграл: . O.2. Дисперсией НСВ , возможные значения которой принадлежат всей оси , называется значение интеграла Замечание 1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ. Замечание 2. На практике для вычисления дисперсии удобно пользоваться формулой: . O.3. Средним квадратическим отклонением НСВ называется корень квадратный из дисперсии, т.е. .О.4. Модой НСВ называется такое значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна. O.5. Медианой НСВ называется такое значение этой величины, что выполняется равенство:

.

Пример 1. НСВ задана плотностью распределения вероятностей в интервале (2,4). Вне этого интервала . Найти все числовые характеристики НСВ

Равномерное распределение и его свойства

О.1. Закон распределения НСВ называется равномерным, если ее плотность распределения задается в виде:

Свойства равномерного распределения 1. Зная плотность распределения, и используя формулу , можно найти функцию распределения:

Если НСВ имеет равномерное распределение, то ее числовые характеристики могут быть найдены по формулам:

3. Вероятность попадания равномерно-распределенной НСВ в интервал можно определить по формуле: