Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии
Получим несмещенную оценку для генеральной дисперсии : Def: Статистику называют исправленной выборочной дисперсией.
Очевидно, что - несмещенная и состоятельная оценка для параметра :
Проверим несмещенность:
Замечание: так как при , то на практике для оценки применяют (3') ввиду ее удобства.
В качестве оценок для среднего квадратичного отклонения берут статистики и .Можно показать, что это - состоятельные оценки: но обе оценки будут смещенными:
Интервальные оценки неизвестных параметров распределения.
1) Интервальная оценка и ее надежность.
Рассмотрим выборку . Совокупность независимых случайных величин имеет тот же закон распределения, что и .
Пусть статистики такие, что всегда a<в, тогда (a,в)- случайный интервал.
- оцениваемый параметр.
Def: если случайный интервал (a,в)может покрывать неизвестный параметр , то этот интервал называется интервальной оценкой для параметра .
Пусть вероятность того, что параметр , тогда вероятность y называется надежностью или доверительной вероятностью интервальной оценки (a,в).
Естественно, что значения y берут близкими к единице. Обычно y берут 0.95, 0.99, 0.999.
С повышением надежности оценки увеличивается длина доверительного интервала.
2) Доверительный интервал для нормально распределенной случайной величины при известной дисперсии .
Рассмотрим случайную величину - известная величина. Требуется построить доверительный интервал . Для решения данной задачи рассмотрим статистику neX- выборочная средняя. Можно показать, что neXтакже подчинена нормальному закону.
Для нормального распределения случайной величины справедливо равенство:
- функция Лапласа.
Применим равенство (2) к выборочной средней:
Выберем E так, что бы заданная надежность оценки.
Из (3) имеем:
.
Итак, доверительный интервал для параметра a имеет вид:
Здесь t(y)выбирается из таблицы значений функций Лапласа:
3) Доверительный интервал для генеральной средней при неизвестной дисперсии .
Как и прежде
Рассмотрим статистику . Здесь - исправленная выборочная дисперсия. Доказано, что статистика имеет закон распределения с плотностью:
Bn- числа.
Распределение вероятностей, задаваемое плотностью (5) называют “t” - распределением или распределением Стьюдента с (n-1) степенью свободы.
Функция (5) является четной.
При “t” - распределение стремится к нормальному распределению.
Что бы записать доверительный интервал для генеральной средней, рассмотрим равенство:
Пользуясь таблицами t” - распределения по заданной надежности и числу степеней свободы (n-1), выбираем t(y,n) из условия (6):
В результате с надежностью y в силу (6) выполняется двойное неравенство:
Отсюда выражаем “a”:
