Интервальные оценки параметров распределения

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика служит оценкой неизвестного параметра . Будем считать постоянным числом ( может быть и случайной величиной). Ясно, что тем точнее определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности . Другими словами, если и , то чем меньше д , тем оценка точнее.

Таким образом, положительное число д характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка удовлетворяет неравенству ; можно лишь говорить о вероятности г, с которой это неравенство осуществляется.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки называют вероятность г, с которой осуществляется неравенство .

Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве г берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что, равна г:

Заменив неравенство равносильным ему двойным неравенством получим:

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна г.

Интервал называется доверительным интервалом, который покрывает неизвестный параметр с надежностью г.

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Пусть количественный признак генеральной совокупности распределен нормально. Известно среднее квадратическое отклонение этого распределения - у. Требуется оценить математическое ожидание а по выборочной средней. Найдем доверительный интервал, покрывающий а с надежностью г. Выборочную среднюю ne x будем рассматривать как случайную величину ne X (ne x изменяется от выборки к выборке), выборочные значения признака - как одинаково распределенные независимые СВ с математическим ожиданием каждой а и средним квадратическим отклонением г. Примем без доказательства, что если величина Х распределена нормально, то и выборочная средняя тоже распределена нормально с параметрами

Потребуем, чтобы выполнялось равенство

Пользуясь формулой

заменив Х на ne X и у на , получим

где

Найдя из предыдущего равенства получим окончательную формулу:

Число t определяется из равенства по таблице функции Лапласа.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >