Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Основы теории вероятности и математической статистики

Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием

Вымборочное (эмпиримческое) сремднее -- это приближение теоретического среднего распределения, основанное на выборке из него.

Определение

Пусть -- выборка из распределения вероятности, определённая на некотором вероятностном пространстве . Тогда её выборочным средним называется случайная величина

Свойства выборочного среднего

Пусть F(x) -- выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного функция F(w;x) является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Тогда математическое ожидание этого распределения равно X(w). Выборочное среднее -- несмещённая оценка теоретического среднего:

Выборочное среднее -- сильно состоятельная оценка теоретического среднего: почти наверное при . Выборочное среднее -- асимптотически нормальная оценка. Пусть дисперсия случайных величин Xi конечна и ненулевая, то есть . Тогда

по распределению при , где N(0,у2) -- нормальное распределение со средним 0 и дисперсией у2.

Выборочное среднее из нормальной выборки -- эффективная оценка её среднего.

Математимческое ожидамние -- мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей. В англоязычной литературе и в математическом сообществе Санкт-Петербурга обозначается через E[X](например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской -- M[X] (возможно, от англ. Mean value, а возможно от русск. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение м.

Определение

Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина X. То есть, по определению, -- измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от X по пространству Щ, то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается M[X] или E[X].

Основные формулы для математического ожидания

Если FX(x) -- функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега -- Стилтьеса:

.

Математическое ожидание дискретного распределения

Если X -- дискретная случайная величина, имеющая распределение , то прямо из определения интеграла Лебега следует, что . Математическое ожидание целочисленной величины

Если X -- положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности {pi} как значение первой производной в единице: M[X] = P'(1). Если математическое ожидание X бесконечно, то и мы будем писать

Теперь возьмём производящую функцию Q(s) последовательности «хвостов» распределения {qk}

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией P(s) свойством: при | s | < 1. Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице:

M[X] = P'(1) = Q(1)

Математическое ожидание абсолютно непрерывного распределения

Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины, распределение которой задаётся плотностью fX(x), равно . Математическое ожидание случайного вектора

Пусть -- случайный вектор. Тогда по определению , то есть математическое ожидание вектора определяется покомпонентно.

Математическое ожидание преобразования случайной величины

Пусть -- борелевская функция, такая что случайная величина Y = g(X) имеет конечное математическое ожидание. Тогда для него справедлива формула:

,

если X имеет дискретное распределение;

,

если X имеет абсолютно непрерывное распределение.

Если распределение Pxслучайной величины X общего вида, то . В специальном случае, когда g(X) = Xk, Математическое ожидание называется k-тым моментом случайной величины.

Простейшие свойства математического ожидания

Математическое ожидание числа есть само число.

M[a] = a -- константа;

Математическое ожидание линейно, то есть

M[aX + bY] = aM[X] + bM[Y],

где X,Y -- случайные величины с конечным математическим ожиданием, а -- произвольные константы;

Математическое ожидание сохраняет неравенства, то есть если почти наверное, и Y -- случайная величина с конечным математическим ожиданием, то математическое ожидание случайной величины X также конечно, и более того

;

Математическое ожидание не зависит от поведения случайной величины на событии вероятности нуль, то есть если X = Y почти наверное, то

M[X] = M[Y].

Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин X,Y равно произведению их математических ожиданий

M[XY] = M[X]M[Y].

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее