Выбор закона регулирования

Исследованы предельные возможности рассматриваемых одноконтурных систем в зависимости от отношения /Т объекта. Быстродействие системы можно оценить наиболее медленно затухающей составляющей переходного процесса, которая определяется степенью устойчивости . Для типовых систем, состоящих из апериодического звена с запаздыванием и одного из типовых регуляторов, рассчитаны значения безразмерной степени устойчивости в зависимости от отношения /T объекта при его коэффициенте усиления k = 1. Для П-регулятора принято S1•k=1 и рассмотрена также относительная статическая погрешность yст/k = 1/ (1 + S1).

Расчеты показывают, что при величина для АСР с различными регуляторами стремится к асимптотам: для И-регулятора (?) = 1; для ПИ-регулятора - (?) = 2; для ПИД-регулятора (?) = 3. При /T 0,5 максимальным быстродействием обладает ПИД-регулятор, а при /T 0,5 - П-регулятор, для которого возрастает неограниченно. Однако статическая погрешность уст/k с увеличением /T асимптотически приближается к 1. Введение И-составляющей, обеспечивающей астатизм системы, скачком снижает ее быстродействие при переходе от П - к ПИ-регулятору [4,5].

Расчет внутренней системы регулирования

Расчет системы автоматического регулирования состоит в нахождении оптимальных настроек регулятора, т.е. таких параметров ПИ-закона регулирования, при которых в работе замкнутой системы обеспечивается заданный запас устойчивости и определенные показатели качества регулирования не хуже требуемых или имеют экстремальные значения.

В данной работе в качестве критерия оптимальности принят минимум интегрального квадратичного критерия качества регулирования. Если при найденных настройках обеспечивается минимальное значение принятого критерия, то расчет системы можно считать оконченным.

Передаточная функция дискретного ПИД-регулятора определяется выражением:

, (4.15)

где

Кр - коэффициент передачи регулятора;

Ти - постоянная интегрирования регулятора;

Тд - постоянная дифференцирования регулятора;

Т - период дискретизации (квантования).

Для расчета используется z-передаточная функция объекта Wоб (z), получаемая как z-преобразование от произведения Wдм (z, S) и Wоб (S).

- передаточная функция демодулятора нулевого порядка, тогда z-передаточная функция объекта определяется выражением

(4.16)

Для нахождения z-преобразования раскладывается на элементарные дроби:

. (4.15)

Коэффициенты в разложении: A = 0,435, B = - 3,045.

, (4.16)

(4.17)

Период дискретизации Т выбран таким образом, чтобы запаздывание объекта было равно целому числу периодов T. При Т = 4 с:

, (4.18)

. (4.19)

Расчет оптимальных настроек регулятора проведен графоаналитическим методом при ограничении на частотный показатель колебательности М.

Сущность метода, заключается в следующем:

если , тогда ,

. (4.20)

То же самое выражение можно записать для всех частот:

, (4.21)

. (4.22)

Данное неравенство можно преобразовать к виду:

. (4.23)

Отсюда следует, что, если комплексная частотная характеристика (КЧХ) разомкнутой системы не заходит в окружность радиуса с центром в точке , где , то система обладает частотным показателем качества М, не превышающим допустимое значение Мдоп.

Для нахождения оптимальных настроек на комплексной плоскости строится окружность с оговоренными выше параметрами и строится КЧХ разомкнутой системы для фиксированных значений Ти и Тд, путем подбора находится такое значение Кр, при котором КЧХ касается окружности в одной точке. Значение Тд определяется как Тд=аТи, где параметр а варьируется [5].

Для получения комплексной частотной функции разомкнутой системы производится замена :

, (4.24)

, (4.25)

. (4.26)

Таким образом, комплексная частотная функция разомкнутой системы:

(4.27)

В качестве примера приводится нахождение Кр для Ти = 1с и а = 0,15 (Тд = 0,15 с) описанным выше способом. При нахождении значений Кр частотный показатель колебательности М принимается равным 1,2. На комплексной плоскости строится окружность радиуса RM=2,272 и с центром в точке (-3,273; j0), затем строятся КЧХ для ряда значений Кр и находится такое значение Кр, при котором КЧХ касается окружности (рисунок 4.4).

Как видно из рисунка 4.4, КЧХ касается окружности при Кр=1,148, значит Ти = 1с и а = 0,15 соответствует Кр=1,148.

Нахождение настроек регулятора графоаналитическим методом

Рисунок 4.4 - Нахождение настроек регулятора графоаналитическим методом

Все построения проведены с использованием программного продукта Mathcad 7.0.

Доказано, что интегральный критерий качества регулирования принимает минимальное значение при максимальном отношении Кр к Ти. Результаты расчета отношений Кри для каждого сочетания параметров сведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1 - Определение оптимальных параметров регулятора

Ти, с

1

2

3

4

5

6

7

a=0

Кр

0,157

0,345

0,561

0,787

1,014

1, 193

1,34

Кри

0,157

0,1725

0,187

0, 1968

0, 2028

0, 1988

0, 1914

a=0,15

Кр

0,158

0,35

0,57

0,82

1,08

1,28

1,44

Кри

0,158

0,175

0, 19

0, 205

0,216

0,2133

0, 2057

a=0, 20

Кр

0,158

0,349

0,575

0,827

1,096

1,31

1,478

Кри

0,158

0,1745

0, 1917

0, 2067

0,2192

0,2183

0,21

a=0,25

Кр

0,158

0,349

0,577

0,83

1,13

1,34

1,46

Кри

0,158

0,1745

0, 1923

0, 2075

0,226

0,2233

0, 2086

a=0,30

Кр

0,158

0,348

0,578

0,848

1,148

1,348

1,458

Кри

0,158

0,174

0, 1927

0,212

0,2296

0,2247

0, 2083

Максимальное отношение Кри = 0,2296 получается при Ти = 5с, а = 0,3 (Тд = 1,5с) и Кр=1,148. Для сравнения, при а = 0, т.е. когда ПИД-регулятор превращается в ПИ-регулятор, максимальное Кри получается при Кр = 1,014 и Ти=5с, т.е. ПИД-регулятор обеспечивает более высокое значение интегрального критерия качества.

Для иллюстрации процесса регулирования построены переходные процессы в системах с найденными оптимальными настройками ПИД - и ПИ-регуляторов.

Переходный процесс представляет собой реакцию системы, т.е. зависимость выходной величины от времени х (t), на входное задающее воздействие хзад (t).

Переходную характеристику можно найти путем обратного z-преобразования:

, (4.28)

. (4.29)

где - передаточная функция замкнутой системы;

- z-изображение хзад (t).

Если воздействие на систему представляет собой единичный скачок 1 (t), то, значит .

Передаточную функцию можно представить как , где A (z) и B (z) - многочлены от z, причем степень числителя не превышает степени знаменателя, тогда

(nm). (4.30)

При делении многочленов один на другой, получается:

. (4.31)

Т.к. соответствует запаздыванию на n периодов дискретизации, то можно перейти к временной функции:

, (4.32)

где .

Передаточная функция замкнутой системы определяется выражением:

, (4.33)

где для ПИД-регулятора:

(4.44)

для ПИ-регулятора:

. (4.45)

После получения передаточной функции замкнутой системы и умножения ее на изображение входного сигнала изображение выходного сигнала:

- для ПИД-регулятора:

; (4.46)

- для ПИ-регулятора:

. (4.47)

После деления многочленов (разложения в ряд по степеням z):

- для ПИД-регулятора:

для ПИ-регулятора:

После перехода к временным функциям:

- для ПИД-регулятора:

- для ПИ-регулятора:

Предельные значения выходных переменных при t в переходных процессах можно найти, используя теорему о конечном значении оригинала, согласно которой:

. (4.48)

Для системы с ПИД-регулятором, а также с ПИ-регулятором:

, (4.49)

т.е. регулируемая величина стремится к 1.

Переходные процессы в системе с ПИД - и ПИ-регулятором обозначаются решетчатыми функциями, так как используется дискретное регулирование. Решетчатая функция для ПИД-регулятора представлена на рисунке 4.5.

Для получения качественных характеристик системы автоматического регулирования построим график переходного процесса, соединив максимальные значения, получившиеся в решетчатой функции. График переходного процесса для систем с ПИД - и ПИ-регулятором изображен на рисунке 4.6.

График переходной (решетчатой) функции в системе с ПИД-регулятором

Рисунок 4.5 - График переходной (решетчатой) функции в системе с ПИД-регулятором

Переходные процессы в системе с ПИД - и ПИ-регулятором

Рисунок 4.5 - Переходные процессы в системе с ПИД - и ПИ-регулятором

Из графиков переходных процессов определяются следующие характеристики:

- перерегулирование - максимальное отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения, выраженное в процентах:

. (4.50)

Для системы с ПИД-регулятором: = 16,9%; с ПИ-регулятором: = 16,2%;

- время регулирования tp - время, в течение которого, начиная с момента приложения воздействия на систему, отклонения регулируемой величины от ее установившегося значения будут меньше наперед заданного значения ошибки (5% от хуст).

Для системы с ПИД-регулятором tр = 30 с; с ПИ-регулятором tр = 35 с.

Как видно, ПИД-регулятор обеспечивает лучшее качество регулирования, чем ПИ-регулятор, несмотря на несколько большее перерегулирование, которое может быть легко уменьшено уменьшением Кр без заметного ухудшения других характеристик.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >