Примеры практических расчетов с помощью макроса Excel «Автокорреляционная функция»

Все данные взяты с сайта http://e3.prime-tass.ru/macro/

Пример 1. ВВП РФ

Приведем данные о ВВП РФ

Год	квартал	ВВП	первая разность
2001	I	1900,9
II	2105,0	204,1
III	2487,9	382,9
IV	2449,8	-38,1
2002	I	2259,5	-190,3
II	2525,7	266,2
III	3009,2	483,5
IV	3023,1	13,9
2003	I	2850,7	-172,4
II	3107,8	257,1
III	3629,8	522,0
IV	3655,0	25,2
2004	I	3516,8	-138,2
II	3969,8	453,0
III	4615,2	645,4
IV	4946,4	331,2
2005	I	4479,2	-467,2
II	5172,9	693,7
III	5871,7	698,8
IV	6096,2	224,5
2006	I	5661,8	-434,4
II	6325,8	664,0
III	7248,1	922,3
IV	7545,4	297,3
2007	I	6566,2	-979,2
II	7647,5	1081,3

Исследуем ряд

На диаграммах показаны: исходный ряд (сверху) и автокорреляционная функция до лага 9 (снизу). На нижней диаграмме штриховой линией обозначен уровень «белого шума» - граница статистической значимости коэффициентов корреляции. Видно, что имеется сильная корреляция 1 и 2 порядка, соседних членов ряда, но и удаленных на 1 единицу времени друг от друга. Корреляционные коэффициенты значительно превышают уровень «белого шума». По графику автокорреляции видим наличие четкого тренда.

Ниже даны значения автокорреляционной функции и уровня белого шума

	АКФ(...)	Ошибка АКФ
1	0,856	0,203	-0,203
2	0,762	0,616	-0,616
3	0,658	0,747	-0,747
4	0,550	0,831	-0,831
5	0,418	0,885	-0,885
6	0,315	0,915	-0,915
7	0,224	0,932	-0,932
8	0,131	0,940	-0,940

Если нас интересует внутренняя динамика ряда необходимо найти первую разность его членов, т.е. для каждого квартала найти изменение значения по сравнению с предыдущим кварталом. Для первой разности построим автокорреляционную функцию.

Статистика Дарбина-Ватсона (DW) =1,813

DW Up= 1,450

DW Low=1,290

Статистика Дарбина-Уотсона показывает, что автокорреляции 1-го порядка нет. По графику можно видеть, что первые разности возрастают, т.к. тренд восходящий. Видна автокорреляция 2 и 4-го порядков, что говорит о полугодовой и годовой сезонности. Значения функции и границы для «белого шума» представлены ниже

	АКФ(...)	Ошибка АКФ
1	-0,203	0,392	-0,392
2	-0,530	0,416	-0,416
3	-0,003	0,513	-0,513
4	0,637	0,513	-0,513
5	-0,087	0,627	-0,627
6	-0,423	0,629	-0,629
7	-0,028	0,673	-0,673

Пример 2. Импорт

Дано

год	квартал	номер	значение	разность
1999	I	1	3,10
II	2	3,40	0,30
III	3	3,33	-0,07
IV	4	3,80	0,47
2000	I	5	3,20	-0,60
II	6	3,60	0,40
III	7	3,70	0,10
IV	8	4,33	0,63
2001	I	9	3,60	-0,73
II	10	4,43	0,83
III	11	4,30	-0,13
IV	12	5,17	0,87
2002	I	13	4,13	-1,03
II	14	4,77	0,63
III	15	5,20	0,43
IV	16	5,97	0,77
2003	I	17	5,10	-0,87
II	18	5,90	0,80
III	19	6,33	0,43
IV	20	7,23	0,90
2004	I	21	6,43	-0,80
II	22	7,70	1,27
III	23	8,17	0,47
IV	24	9,08	0,92
2005	I	25	8,17	-0,92
II	26	9,80	1,63
III	27	10,50	0,70
IV	28	12,47	1,97
2006	I	29	10,40	-2,07
II	30	12,67	2,27
III	31	14,20	1,53
IV	32	17,10	2,90

Построим автокорреляционную функцию

	АКФ(...)	Ошибка АКФ
1	0,802	0,211	-0,211
2	0,693	0,535	-0,535
3	0,585	0,637	-0,637
4	0,566	0,701	-0,701
5	0,423	0,756	-0,756
6	0,343	0,785	-0,785
7	0,255	0,803	-0,803
8	0,231	0,813	-0,813
9	0,131	0,822	-0,822
10	0,072	0,824	-0,824

Видим, что есть автокорреляция 1-го и 2-го порядков. График показывает наличие тренда. Положительная автокорреляция объясняется неправильно выбранной спецификацией, т.к. линейный тренд тут непригоден, он скорее экспоненциальный. Поэтому сделаем ряд стационарным, взяв первую разность.

	АКФ(...)	Ошибка АКФ
1	-0,297	0,343	-0,343
2	0,309	0,390	-0,390
3	-0,420	0,420	-0,420
4	0,636	0,471	-0,471
5	-0,226	0,571	-0,571
6	0,214	0,583	-0,583
7	-0,311	0,593	-0,593
8	0,444	0,613	-0,613
9	-0,229	0,653	-0,653

Видим наличие автокорреляции 4-го порядка, что соответствует корреляции данных, отдаленных на год. Автокорреляцию первого порядка не имеем.

Статистика Дарбина-Ватсона (DW) =2,023

DW Up=1,500

DW Low=1,360

Пример 3. Экспорт

Приведем данные

год	квартал	номер	значение	разность
2000	I	1	22,30
II	2	22,80	0,50
III	3	24,80	2,00
IV	4	24,80	0,00
2001	I	5	25,50	0,70
II	6	25,50	0,00
III	7	25,90	0,40
IV	8	26,20	0,30
2002	I	9	26,30	0,10
II	10	28,60	2,30
III	11	28,70	0,10
IV	12	30,30	1,60
2003	I	13	30,50	0,20
II	14	31,00	0,50
III	15	33,80	2,80
IV	16	36,40	2,60
2004	I	17	38,00	1,60
II	18	41,40	3,40
III	19	47,20	5,80
IV	20	52,36	5,16
2005	I	21	52,50	0,14
II	22	60,40	7,90
III	23	65,70	5,30
IV	24	67,40	1,70
2006	I	25	69,00	1,60
II	26	76,60	7,60
III	27	79,80	3,20
IV	28	71,00	-8,80
2007	I	29	80,50	9,50

Для исходного ряда имеем:

	АКФ(...)	Ошибка АКФ
1	0,896	0,165	-0,165
2	0,822	0,600	-0,600
3	0,712	0,739	-0,739
4	0,592	0,828	-0,828
5	0,483	0,884	-0,884
6	0,372	0,920	-0,920
7	0,261	0,941	-0,941
8	0,150	0,950	-0,950
9	0,062	0,954	-0,954

Очевидно наличие четкого тренда, значимыми являются коэффициенты автокорреляции 1-го и 2-го порядков. Для первой разности

	АКФ(...)	Ошибка АКФ
1	-0,173	0,372	-0,372
2	-0,090	0,389	-0,389
3	0,353	0,392	-0,392
4	0,240	0,435	-0,435
5	-0,106	0,454	-0,454
6	-0,088	0,457	-0,457
7	0,315	0,460	-0,460
8	-0,136	0,490	-0,490

Автокорреляции уже не видим, остатки распределены как «белый шум».