Модель движения газа

По начальному состоянию газа в трубе и краевым условиям на концах трубы необходимо определить конечное состояние газа на определенном временном слое. Параметрами состояния являются давление газа Pi,j и его расход Qi,j в точке трубы. Все остальные физические параметры газа, трубы принимаются константами на текущий момент расчета. Тогда состояние трубы - это набор точек вдоль трубы (их количество n). Обычно расстояние между ними берут одинаковым (D X). Так как от начального до конечного состояния происходит какой-то промежуток времени T, его тоже можно разбить на m промежутков D t, чтобы можно было проследить изменение состояния в n точках трубы на каждом из m промежутков времени (или временных слоев). В итоге решение - это плоскость распределения давления и расхода по времени и длине трубы.

Приводим возможные варианты состояния газа в трубе:

Стационарное состояние газа (без движения). Когда давление газа одинаково по всей трубе P=const и соответственно расход газа Q=const.

Стационарное движение газа. Когда давление газа неодинаково распределено по всей трубе и рассчитывается по формуле стационарного режима, но расход газа Q=const по всей трубе.

Нестационарное движение газа. Когда давление газа P также неодинаково распределено по трубе, но при этом расход газа Q распределен по трубе также неодинаково.

Исходя из постановки задачи имеется начальное состояние трубы в виде массивов Pi,0 и Qi,0 (где i=1,.,n). Тогда совокупность всех временных слоев (т.е. состояний на текущий момент) описывается состоянием труб Pi,j и Qi,j (где i=1,....,n и j=1,...,m).

Проанализировав данную систему, отметим следующее:

Правило 1. Скорость изменения давления по времени t равна скорости изменения расхода газа по расстоянию x.

Правило 2. По расстоянию x скорость изменения квадрата давлений равна квадрату расхода газа.

Необходимо принять во внимание, что во временном слое можно вычислить расход газа по соседним давлениям. А при перемещении по времени можно определить давление, если известно предыдущее состояние соседних по x расходов.

В идеале каждый временной слой представляется в виде отрезков трубы со стационарным режимом между узлами. Правило 2 показывает связь между расходом газа и давлением в каждом временном слое из предположения, что между соседними узлами по давлению установился стационарный режим течения газа.

В идеале, любое нестационарное состояние газа стремится перейти в стационарное. Первоначально v это стационарный режим течения газа, а затем стационарное состояние газа (т.е. выравнивание давления в замкнутом объеме). Тогда в постановке нашей задачи возможны два случая:

Задано распределение давления газа по узлам трубы. Необходимо определить состояние в узлах после определенного промежутка времени без внешних воздействий. Это выравнивание давления в замкнутом пространстве.

Задано распределение давления газа по узлам трубы, задано изменение давления или расхода на одном или обоих концах трубы. Необходимо определить состояние в узлах после определенного промежутка времени, т.е. после внешних воздействий. Это состояние трубы при течении газа.

В данной работе ограничимся случаем 2), так как рассматривается только транспорт газа. То есть заранее заданы изменения P и Q на одном или обоих концах трубы и с учетом начального состояния газа в трубе, его физических параметров необходимо получить конечное его состояние.

Sign(Qi,j,Qi+1,j) - это функция, определяющая знак изменения давления в узле i,j на текущем шаге в зависимости от направления и значения окружающих его расходов газа Qi,j и Qi+1,j.

Промежуточные варианты 2, 3 складываются из соображений, что, если газа поступает больше чем уходит, то давление повышается, и, наоборот, если поступает меньше чем уходит, то давление падает. Тогда можно обобщить правило определения направления изменения давления в узле:

Для узла трубы давление увеличится, если в него поступает газа больше, чем отбирается. Давление уменьшится , если газа поступает меньше, чем отбирается.

Теперь определим общую схему алгоритма расчета каждого временного слоя.