Элементы линейного программирования
Общая задача линейного программирования
Определение 9. Задача линейного программирования - задача, математическая модель которой представляется в виде: a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b0.
Существует множество прикладных задач, модель которых имеет структуру задач линейного программирования. Рассмотрим некоторые из них.
Транспортная задача
Пусть имеется m пунктов производства некоторого продукта и n пунктов его потребления. Производство и потребление сбалансированы (объемы производства и потребления равны). Задача заключается в отыскании рационального плана перевозок продукции из пунктов производства в пункты назначения, при котором транспортные расходы минимальны.
План перевозок должен удовлетворять следующим требованиям (равенство объемов):
Спрос любого из пунктов потребления должен полностью удовлетворяться
Вся продукция каждого пункта производства должна полностью использоваться.
Элементы вариационного исчисления и принципы максимума Понтрягина.
Постановка задачи оптимального управления
Состояние системы управления в любом времени можно характеризовать с помощью набора численных значений координат в фазовом пространстве X, а эволюцию системы - траекторией в этом пространстве:
(16) X(t) = (x1(t), x2(t), …, xn(t)).
В фазовом пространстве выделяют область допустимых значений (S-область).
Аналогично, вводится пространство уравнений U с числом измерений r, равным числу независимых управляемых воздействий. Тогда закон изменений управляемых воздействий задаётся однозначно траекторией в пространстве управления:
(17) U(t) = (u1(t), u2(t), …, ur(t))
Вводим область допустимых управлений .
Любой процесс управления отображается траекториями одновременно в пространствах X и U. Траектория в пространстве U выбирается в процессе управления, траектория в пространстве X для заданной системы определяется выбором траектории из U.
Любое реальное движение системы отображается траекториями, не выходящими за пределы областей S и .
В крайнем случае они могут полностью или частично проходить по их границам. Из ограниченности областей S и следует невозможность мгновенного изменения состояния системы (в этом случае траектория должна выйти за пределы S и , т.к. x1(t) … и u1(t),… , ).
В то же время, u1(t),…, могут, оставаясь в пределах допустимой области , изменяться скачком. Такой идеализации соответствуют кусочно-непрерывные управления с конечным числом разрывов 1-го рода (скачков).
