Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Поведение частицы в поле Кулона-Дирака

Квантовое усреднение

В работах [1], [6] описана схема квантового усреднения. Следуя ей, находим обратимый оператор и операторы с точностью , которые задаются следующими формулами:

Получившийся оператор называется усредненным оператором. Так как оператор коммутативен старшей части , то решение спектральной задачи для оператора с точностью можно свести к решению спектральной задачи для оператора на собственных подпространствах оператора .

Для первого приближения по справедливо:

где

В итоге спектральная задача (3) с точностью приводится к новой спектральной задаче

Причем, . Собственные значения задачи (3) удовлетворяют следующему равенству , а связь между ее собственными функциями и собственными функциями задачи (4) определяется как . Здесь операторы , задаются явными формулами.

Следует отметить, что по построению операторы и коммутируют. Операторы и оба коммутируют с оператором момента , откуда вытекает, что коммутирует с . В итоге, в задаче возникает операторная алгебра Карасева-Новиковой [1], в которой находятся все операторы, коммутирующие с и . Образующие этой алгебры подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

Запишем усредненный оператор , как функцию, зависящую от образующих операторной алгебры :

,

при условии, что .

Задачу (4) можно рассматривать отдельно на каждом собственном подпространстве операторов и . Тогда все сводится к задаче

(5)

, где n,m - квантовые числа.

Когерентное преобразование

Для решения полученной задачи (5) необходимо использовать когерентное преобразование

,(6)

где - это гипергеометрическое когерентное состояние, которое определяется следующим образом . - функция Бесселя [7], а весовая функция выражается через гипергеометрическую функцию определенным образом.

Пусть k,m,n - целые числа, . Введена функция

Где F-гипергеометрический ряд [7]

Операция определяется формулой , а - нормировочная константа:

А именно, весовая функция - это решение следующего гипергеометрического уравнения:

Когерентное преобразование взаимно-однозначно отображает пространство на пространство ?? антиголоморфных полиномов над ? степени не выше с нормой .

Таким образом, после когерентного преобразования образующие , , , , становятся дифференциальными операторами первого и второго порядка, которые удовлетворяю следующим соотношениям:

Также необходимо, чтобы соблюдалось условие

. (7)

Формула когерентного преобразования ( 6) позволяет точно найти решения первых двух уравнений (5) при любых амплитудах Ц. Таким образом, достаточно решить лишь третье уравнение системы (5), которое после когерентного преобразования в пространстве ?? имеет вид:

(8)

Здесь

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее