Построение ВКБ-асимптотики

Полученное уравнение (8) является уравнением Гойна. Оно принадлежит классу уравнений Фукса [8], и все его особые точки являются регулярными особыми точками. В рассматриваемой задаче четыре особые точки, три из них конечные особые точки и бесконечность: , .

Предположим, что : , .

При эти параметры удовлетворяют неравенствам . Пусть . Тогда числа b,c имеют порядок 1,а

Будем искать решение уравнения (8) в виде

, (9)

где , , где - множество антиголоморфных в окрестности нуля функций.

Заданный оператор на множестве является проектором на пространстве ??. В правую часть формулы (9) подставляется асимптотическое решение уравнения (8), а не асимптотическое решение уравнения -ого порядка, в которое преобразуется (8) под действием преобразования (9). Такая замена возможна, потому что аналогично [3] доказывается, что возникающие дополнительные слагаемые в уравнении вносят экспоненциально малый вклад в невязку.

При построении асимптотических решений уравнения (8) существенную роль играет их поведение вблизи особых точек. Исследуем многоточечную спектральную задачу вместе со спектральной задачей (8), (7). Ее суть заключается в поиске собственных значений , при которых у уравнения (8) существуют ненулевые антиголоморфные решения, характеристические показатели которых в особых точках равны нулю, а в особой точке показатель равен .

Предположив, что собственные значения - это число , а функция - асимптотическое решение такой многоточечной спектральной задачи, то при подстановке в правую часть формулы (9) получаем многочлен - асимптотическое решение уравнения (8) из пространства ??. Из условия нормировки (7) для можно найти константу, содержащуюся в . Таким образом, число и многочлен являются асимптотическим решением исходной спектральной задачи (8), (7).

Запишем уравнение (8) в виде: .

Теперь будем строить асимптотическое решение уравнения (8). Представим решение Ф в виде (10) и найдем его производные первого и второго порядка.

, (10)

Найдем : для этого посчитаем интеграл с помощью метода неопределенных коэффициентов.

c учетом замен и разложения в ряд Тейлора:

В итоге, нашли Е:

(11)

Уравнение (8) можно представить в виде: (12) , исключив из него первую производную.

Сделаем замену:

, (12)

Сделаем замены

Лемма 1. Справедливо равенство:

Выделяем слагаемые порядка

(14)

Выделяем слагаемые порядка

(15)

Затем решаем систему: , чтобы найти кратные точки поворота и главный член разложения вблизи этой точки.

Представим в виде: . Тогда

Получаем новую систему:

где

В рассматриваемой задаче . Тогда точка будет точкой поворота кратности два.

Сначала, устанавливаем связь между коэффициентами c и b:

Отсюда получаем, что

(16)

Замечание: данное условие (16) носит технический характер и требуется затем, чтобы кратная точка поворота, расположенная в точке -0.1 имела простой вид. Иначе, эта точка является корнем уравнения четвертого порядка.

Далее ищем

Получаем выражение для

(17)

Числитель (обозначим его )- многочлен четвертой степени, с точкой поворота кратности два, а также простыми точками поворота Тогда его можно представить в виде

Найдем коэффициенты D, A, B разложения.

Учитывая найденную ранее связь между коэффициентами a и b, искомые коэффициенты квадратного многочлена принимают вид:

(18)

(19)

Теперь будем строить ВКБ-приближение для решения уравнения (12) или . Они верны около малых окрестностей точек поворота и вычисляются по следующей формуле [9],[10]:

(20),

где С-константа Необходимо посчитать, возникающие в (20) интегралы. Их вычисление проводим с помощью табличных интегралов [11] и метода неопределенных коэффициентов.