Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Поведение частицы в поле Кулона-Дирака

Построение ВКБ-асимптотики

Полученное уравнение (8) является уравнением Гойна. Оно принадлежит классу уравнений Фукса [8], и все его особые точки являются регулярными особыми точками. В рассматриваемой задаче четыре особые точки, три из них конечные особые точки и бесконечность: , .

Предположим, что : , .

При эти параметры удовлетворяют неравенствам . Пусть . Тогда числа b,c имеют порядок 1,а

Будем искать решение уравнения (8) в виде

, (9)

где , , где - множество антиголоморфных в окрестности нуля функций.

Заданный оператор на множестве является проектором на пространстве ??. В правую часть формулы (9) подставляется асимптотическое решение уравнения (8), а не асимптотическое решение уравнения -ого порядка, в которое преобразуется (8) под действием преобразования (9). Такая замена возможна, потому что аналогично [3] доказывается, что возникающие дополнительные слагаемые в уравнении вносят экспоненциально малый вклад в невязку.

При построении асимптотических решений уравнения (8) существенную роль играет их поведение вблизи особых точек. Исследуем многоточечную спектральную задачу вместе со спектральной задачей (8), (7). Ее суть заключается в поиске собственных значений , при которых у уравнения (8) существуют ненулевые антиголоморфные решения, характеристические показатели которых в особых точках равны нулю, а в особой точке показатель равен .

Предположив, что собственные значения - это число , а функция - асимптотическое решение такой многоточечной спектральной задачи, то при подстановке в правую часть формулы (9) получаем многочлен - асимптотическое решение уравнения (8) из пространства ??. Из условия нормировки (7) для можно найти константу, содержащуюся в . Таким образом, число и многочлен являются асимптотическим решением исходной спектральной задачи (8), (7).

Запишем уравнение (8) в виде: .

,

Теперь будем строить асимптотическое решение уравнения (8). Представим решение Ф в виде (10) и найдем его производные первого и второго порядка.

,

,

,

, (10)

Найдем : для этого посчитаем интеграл с помощью метода неопределенных коэффициентов.

,

c учетом замен и разложения в ряд Тейлора:

,

,

В итоге, нашли Е:

(11)

Уравнение (8) можно представить в виде: (12) , исключив из него первую производную.

,

,

,

,

Сделаем замену:

,

, (12)

Сделаем замены

Лемма 1. Справедливо равенство:

Выделяем слагаемые порядка

(14)

Выделяем слагаемые порядка

(15)

Затем решаем систему: , чтобы найти кратные точки поворота и главный член разложения вблизи этой точки.

Представим в виде: . Тогда

Получаем новую систему:

,

,

,

,

,

где

В рассматриваемой задаче . Тогда точка будет точкой поворота кратности два.

Сначала, устанавливаем связь между коэффициентами c и b:

,

Отсюда получаем, что

(16)

Замечание: данное условие (16) носит технический характер и требуется затем, чтобы кратная точка поворота, расположенная в точке -0.1 имела простой вид. Иначе, эта точка является корнем уравнения четвертого порядка.

Далее ищем

,

Получаем выражение для

(17)

Числитель (обозначим его )- многочлен четвертой степени, с точкой поворота кратности два, а также простыми точками поворота Тогда его можно представить в виде

Найдем коэффициенты D, A, B разложения.

Учитывая найденную ранее связь между коэффициентами a и b, искомые коэффициенты квадратного многочлена принимают вид:

(18)

(19)

Теперь будем строить ВКБ-приближение для решения уравнения (12) или . Они верны около малых окрестностей точек поворота и вычисляются по следующей формуле [9],[10]:

(20),

где С-константа Необходимо посчитать, возникающие в (20) интегралы. Их вычисление проводим с помощью табличных интегралов [11] и метода неопределенных коэффициентов.

Вычислим первый интеграл из формулы (22):

Вычислим второй интеграл из формулы (22):

(24)

Вычислим третий интеграл из формулы (22):

Таким образом, можем посчитать общий интеграл (21), используя (22)-(25):

(26)

Теперь посчитаем следующий интеграл из формулы (20):

(27)

Решаем интеграл (27) с помощью метода неопределенных коэффициентов:

С помощью замены сведем интеграл к табличному [11] и вычислим его:

(29)

Вычислим второй интеграл из формулы (28):

Вычислим третий интеграл из формулы (28):

Находим общий интеграл с помощью формул (28), (29)- (31):

Итак, найдем ВКБ-приближение решений уравнения (8)

(34)

Итак, мы нашли асимптотику решения рассматриваемой задачи во всей комплексной плоскости вне малых окрестностей точек , .

Теорема 1:

ВКБ-приближение для уравнения (8) имеет вид (33), (34).

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее