Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Поведение частицы в поле Кулона-Дирака

Решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии

Следующим этапом является построение асимптотического решения вблизи точек поворота .

Найдем точки поворота , как корни квадратного многочлена с коэффициентами, заданными формулой (18).

(35)

(36)

Из уравнения (12) следует, что около точек поворота

(37)

Из этого вытекает, что главные члены асимптотических разложений вблизи (35),(36) записываются через функции Эйри [12]:

, (38)

А , - константы.

Лемма 1 .

Вблизи точек асимптотическое решения уравнения (12) имеют вид (38). Следовательно, решение задачи (8) вблизи точек поворота будет иметь вид:

,

Затем необходимо построить решение уравнения (12) вблизи точки поворота и найти спектральную поправку .

Пусть . Разложим в ряд Тейлора в окрестности .

Сделав замены, уравнение (39) можно представить в следующем виде:

(40)

Асимптотическое решение уравнения (40) будем искать в виде:

(41)

Сделаем замену

. (42)

Тогда уравнение(40) принимает вид :

(43)

Главный член асимптотики находится из следующего уравнения:

(44)

Задаем коэффициент так, чтобы уравнение (44) приняло вид Вебера [7]:

. (45)

(46)

Теперь ищем .

(47)

В итоге, получаем уравнение Вебера для главных членов асимптотики

(48)

Известно [7], что его общее решение выражается через функции параболического цилиндра

(49)

Линии Стокса [9],[10] для уравнения (12) имеют следующий вид

Поскольку линии Стокса для для уравнения (12) имеют такой вид, то после согласования найденной асимптотики разложения, которые призводятся аналогично работе [3], приходим к условию:

(50)

Кроме того, получаем, что из (49) б2=0 и из (38) б2±=0.

Известно [12], что гамма-функция имеет полюсы только при

Найдем поправку в спектральной серии из уравнения связи (45)

(51)

Лемма 2. Спектральная поправка удовлетворяют следующему равенству

(52)

Из формул (49), (50) следует, что

(53)

Функции параболического цилиндра можно выразить через многочлены Эрмита [7]:

(54)

Теперь необходимо найти второй член в разложении (41). Из (40), (50),(53) следует, что удовлетворяет уравнению:

(55)

Предположим, что частное решение этого уравнения можно представить в следующем виде:

(56)

Тогда общее решение уравнения (55) имеет вид:

,(57)

где . из-за условия согласования функции с ВКБ-приближением. Пусть , при условии, что поправка порядка входит .

Найдем частное решение путем непосредственного дифференцирования.

Получили систему уравнений для коэффициентов

Таким образом, общее решение принимает следующий вид:

(58)

Или решение можно выразить посредством полиномов Эрмита:

(59)

Лемма 2.

Асимптотическое решение вблизи имеет вид (41), где задается формулой (54), а задается формулой (59).

Следующим шагом вычисляется норма решения. Для этого необходимо разложить функцию по степеням , с учетом замены (42) из-за справедливости равенства (10). определено формулой (11), для удобства проведём такие замены, что

(60)

(61)

Далее ищем разложение , где определено соотношением (41), а - это решение (8) вблизи -0.1, и получаем:

, (62)

(63)

(64)

Лемма 3.

Асимптотическое решение многоточечной спектральной задачи вблизи точки поворота имеет вид (62).

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее