Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Математика, химия, физика arrow Поведение частицы в поле Кулона-Дирака

Вычисление нормы. Формулировка итоговой теоремы

Весовая функция задает меру в формуле скалярного произведения (4).

(65)

(66)

Коэффициент находится из условия нормировки по следующей формуле (67):

(67)

Разложим функцию по степеням

(68)

Введем следующие замены:

(69)

Через эти замены (69) выразим следующие переменные:

(70)

Тогда весовая функция удовлетворяет равенству

(71)

(72)

Теперь вычислим :

(73)

Затем ищем норму по формуле :

(74)

где определяются из формул(73), (72).

Введем вещественные переменные такие, что

(75)

(76)

и норма (74) принимает следующий вид:

(77)

где константа определяется из формул (74), (76).

В формуле (77) слагаемые порядка являются интегралами от нечетных функций в симметричных пределах. Следовательно, они равны нулю. спектральный многочлен когерентный

Таким образом, находим .

(78)

Таким образом, приходим к основной теореме.

Теорема 2: Пусть , определено формулами (17), (52), а многочлен определен формулой (9), где - решение многоточечной спектральной задачи, такое что имеет вид (78). Тогда и являются асимптотическим собственным значением и асимптотической собственной функцией задачи (8), (7) при в пространстве . Более точно, если определено (17), (52), то многочлен удовлетворяет уравнению (8) с точностью с оценкой невязки в норме , а также условию нормировки (7) с точностью .

Заключение

В итоге, найдена квазиклассическая асимптотика спектра вблизи нижних границ спектральных кластеров для задачи, описывающей частицу в аксиально-симметричном поле Кулона-Дирака. В работе была найдена асимптотика собственных значений Е исходной задачи (2) с точностью до членов четвертого порядка малости по магнитному полю. Найденные формулы описывают расщепление спектра, то есть эффект Зеемана для данной задачи.

При построении асимптотических собственных функций было использовано интегральное представление (9), предложенное в работе [2]. Полученные в выпускной работе результаты могут быть использованы в квантовой теории при изучении атомов и молекул.

Список литературы

1. Карасев М. В., Новикова Е. М. Алгебра с квадратичными коммутационными соотношениями для аксиально-возмущенного поля Кулона--Дирака // ТМФ, 2004, Т. 141, №3, С. 424-454

2. Перескоков А. В. Асимптотика спектра и квантовых средних вблизи границ спектральных кластеров для возмущенного двумерного осциллятора // Мат. заметки, 2012, Т. 92, №4, С. 583-596

3. Перескоков А.В. Асимптотика спектра атома водорода в магнитном поле вблизи нижних границ спектральных кластеров//Труды ММО, 2012, Т.73, вып.2, С. 277-325

4. Шифф Л. Квантовая механика. М., ИЛ, 1959.

5. Лисица В. С. Новое в эффектах Штарка и Зеемана для атома водорода // УФН. 1987. Т. 153,№3. С. 379-421. (атом водорода)

6. Карасев М. В., Новикова Е. М. Представление точных и квазиклассических собственных функций через когерентные состояния. Атом водорода в магнитном поле // ТМФ. 1996.Т. 108, №3. С. 339-387.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В 2-x т. М., Наука, 1973, 1974.

8. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. М., Л., Гостехиздат, 1950.

9. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М., Наука, 1990.

10. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Наука, 1983.

11. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Наука, 1975.

12. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовиц, И. Стиган. М., Наука, 1979.

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ
 

Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее