Основная часть. Расчет шифра

;N1N2 = 37.

;N3N4 = 22.

;N5N6 = 24.

;N7N8 = 18.

;N9N10 = 57.

Дискретизация аналогового сигнала

Исходный сигнал представлен на рисунке 2.1.

Параметры сигнала: t1=Т;t2=1,5·t1; t3=2,5·t1; Tс=4t1.

Представление исходного сигнала

Рис. 2.1 - Представление исходного сигнала.

Для удобства значения Е и t1 примем равными единице. В дальнейшем в программе MathCAD можно будет изменить их на указанные значения в ТЗ.

Схема аналогового фильтра приведена на рисунке 2.2.

,

Рис. 2.2 - Схема аналогового фильтра.

Построим непериодический импульсный сигнал S(t):

Исходный сигнал

Рис. 2.3 - Исходный сигнал

Поинтервальное описание сигнала выглядит следующим образом:

Воспользовавшись прямым преобразование Фурье (ППФ), получим

Амплитудно-частотная характеристика исходного сигнала

Рис. 2.4 - Амплитудно-частотная характеристика исходного сигнала

График аргумента комплексной спектральной плотности

Рисунок 2.5 График аргумента комплексной спектральной плотности

Дискретизация аналогового сигнала по времени

Руководствуясь теоремой Котельникова, частоту дискретизации выбираем так, чтобы . Для определения спектра сигнала воспользуемся пороговым критерием: для частот выше модуль спектральной плотности не превышает уровня 0,1 от максимального значения. Графически определив (рис. 2.2 ), получили: =9,3 рад/с, значит =18,6 рад/с. Используем ее для определения периода дискретизации сигнала.

=0,337 с.(2.3)

Строго говоря, все реальные сигналы имеют конечную длительность и, следовательно, бесконечно протяжённый спектр. Однако, начиная с некоторого значения частоты, спектральные составляющие становятся настолько малы, что ими можно пренебречь.

Сигнал может быть приближённо описан конечным числом выборочных значений. Число выборочных значений, которыми полностью описывается сигнал, называют числом степеней свободы сигнала.

Число отсчетов (число степеней свободы) равно

.(2.4)

Число отсчетов должно быть целым, поэтому, основываясь на выражение (2.4), принимаем:

Произведем пересчет параметров дискретизации в соответствии с принятым решением:

(2.5)

Теперь сигнал можно приближенно представит в виде последовательности отсчетов.

Запишем отсчеты дискретизированного сигнала и проиллюстрируем полученный результат (рисунок 2.6):

Изобразим полученную дискретную последовательность.

Дискретная последовательность

Рисунок 2.6 - Дискретная последовательность

Спектральную плотность дискретного сигнала можно вычислить непосредственно по отсчетам сигнала , применяя прямое преобразование Фурье:

(2.7)

На рисунке 2.5 изображён модуль спектральной плотности дискретного непериодического сигнала .

Модули спектральных плотностей исходного аналогового (пунктирная линия) и дискретизированного (сплошная линия) сигналов

Рисунок 2.7 Модули спектральных плотностей исходного аналогового (пунктирная линия) и дискретизированного (сплошная линия) сигналов.

Анализируя рисунок 2.7 можно сделать очень важный вывод: при дискретизации сигнала во временной области спектральная плотность становится периодической функцией частоты с периодом, равным . В то время как континуальный сигнал имеет апериодический спектр.

Анализируя рисунок 2.7, можно сделать вывод: при дискретизации сигнала во временной области спектральная плотность этого сигнала становиться периодической функцией частоты с периодом, равным ?d.

С помощью прямого дискретного преобразования Фурье (ПДПФ) установим связь между временными отсчетами сигнала и отсчетами его спектральной плотности:

(2.8)

Результаты расчета значений коэффициентов ДПФ и график модуля коэффициентов Ск приведены на рисунке 2.8.

Отсчёты спектральной плотности, полученные по ДПФ

Рисунок 2.8 Отсчёты спектральной плотности, полученные по ДПФ

Дискретный периодический сигнал обладает дискретным периодическим спектром. Отсчёты во временной и частотной областях связаны парой ДПФ.

Дискретное преобразование Фурье сопоставляет отсчетам сигнала во временной области отсчеты спектральной плотности в частотной области. Ис пользуя частотные отсчеты, которые являются коэффициентами ДПФ, можно восстановить исходный аналоговый сигнал, применяя ряд Фуръе:

Учитывая четное количество коэффициентов ДПФ и их комплексную сопряженность, получаем

где - фазовый угол коэффициента ДПФ.

Следует отметить, что восстановление непрерывного сигнала по данной формуле есть не приближённая, а точная операция, полностью эквивалентная получению текущих значений сигнала с ограниченным спектром по его отсчётам.

На рисунке 2.9 представлен результат восстановления сигнала по отсчётам его спектральной плотности.

Аналоговый периодический сигнал, восстановленный по ДПФ

Рисунок 2.9 Аналоговый периодический сигнал, восстановленный по ДПФ

Восстановленный сигнал является периодической функцией времени. Он точно проходит по отсчётам выборки на первом периоде. Очевидно, что при большем значении N восстановление будет точнее.

Восстановление аналогового сигнала по заданным отсчётам произведем, используя ряд Котельникова, а именно:

Восстановленный сигнал представляет собой сумму функций Котельникова с весами, равными отсчётам сигнала. На рисунке 2.10 приведён результат восстановления.

Рисунок 2.10 Аналоговый сигнал, восстановленный с помощью ряда Котельникова

Как видно из рисунка, форма восстановленного сигнала приближенно напоминает форму исходного сигнала. Восстановленный сигнал сохранил апериодичность. Значения восстановленного сигнала совпадают со значениями исходного только в точках отсчета. Это объясняется тем, что нули функций Котельникова расположены по оси абсцисс (временной) с периодом, зависящим от аргумента функций. В нашем случае этот период равен , то есть в каждой точке отсчета все сдвинутые относительно этой точки функции равны нулю, а функция, симметричная в этой точке, равна единице, что после домножение на значение отсчета дает точное совпадение с исходным сигналом. Во всех остальных точках функции Котельникова накладываются друг на друга, приближая форму итогового сигнала к исходному. Увеличение числа отсчетов повысит точность восстановления сигнала.

По результатам работы проведённой в первом пункте можно сделать следующие выводы:

Спектр дискретизированной последовательности получается путём суммирования бесконечного числа копий спектра исходного аналогового сигнала, сдвинутых относительно друг друга на частоту дискретизации.

Z-преобразование дискретной последовательности получается из спектральной плотности этой последовательности путём замены: .

Значения дискретных отсчётов спектральной плотности исходного аналогового сигнала совпадают со спектром периодического аналогового сигнала в точках n·?с.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   Скачать   След >