Основные уравнения, описывающие физические поля при пороховом воздействии
В данном параграфе кратко рассмотрены некоторые физические эффекты, наблюдающиеся в системе “скважина-пласт” при пороховом воздействии, так же приведены уравнения положенные в основу математической модели упомянутой системы.
Как известно, процесс горения порохов представляет собой экзотермическую реакцию, сопровождающуюся переходом твердой фазы вещества, составляющего порох, в газообразную. Инициированный пороховой заряд, предварительно помещенный в призабойную зону скважины, в определенном смысле, представляет собой источник тепла и газообразного вещества. Образовавшийся при горении заряда в жидкой среде газовый пузырь, обуславливает возникновение колебательных процессов, которые распространяются глубоко в пласт. Можно утверждать, что в данном случае имеет место процесс превращения внутренней энергии порохового заряда в механическую и тепловую энергии.
Очевидно, что в результате такого воздействия в скважине и пласте растет температура, и возникают затухающие пульсации давления.
Повышение эффективной теплопроводности за счет механизма трансцилляторного переноса.
Согласно модели конвективного теплообмена, вследствие низкой теплопроводности пород, составляющих реальные системы “скважина- пласт”, тепло, образовавшееся в результате горения заряда может проникать в весьма ограниченную область призабойной зоны. Однако в нашем случае за счет пульсаций, проявляется эффект трансцилляторного переноса, вследствие чего существенно возрастает эффективный коэффициент теплопроводности.
Если скелет пористой среды пласта представить в виде системы чередующихся соприкасающихся пластин: при этом одна из каждой пары соседних пластин считается неподвижной, а вторая может перемещаться по оси , расположенной на границе раздела, согласно периодическому закону (рис. 1).
Рис. 1. Представление пористой среды в виде трансциллятора
Теплообмен между пластинами происходит по закону Ньютона. Наличие градиента температуры в системе вдоль оси колебания пластин обуславливает дополнительный к обычному молекулярному процесс теплопроводности. Для простоты ниже обычной теплопроводностью пренебрегаем. Если предположить, что изменение взаимного расположения пластин происходит скачкообразно, то механизм теплопереноса при колебательном движении жидкости можно представить следующим образом. На рис. 1 изображены четыре состояния колеблющейся среды (колеблется нижняя пластина). В начальный момент (состояние 1) нагревается часть неподвижной среды (заштриховано). Поток тепла, возникший вследствие разности температур обозначенный стрелкой приводит к нагреву соответствующей зоны подвижной среды. После смещения колеблющейся среды в положение 2, наблюдается поток тепла в холодную часть неподвижной пластины. Таким образом, фронт температурного возмущения, обозначенный пунктирной линией, сдвигается вправо. Дальнейший сдвиг фронта изображен в положениях 3 и 4. Если принять, что на рис. 1 изображена начальная стадия процесса, то экстраполировав его во времени можно утверждать, что при наличии колебаний температурный фронт продолжит свое движение. Молекулярной теплопроводностью вдоль пластин в приведенных рассуждениях мы пренебрегли с целью упрощения модели.
Величина коэффициента трансцилляторного переноса, возникающая вследствие колебания давления при пороховом воздействии, прямо пропорциональна квадрату амплитуды:
при этом существует граничная частота колебаний , зависящая от свойств пласта, при которой коэффициент трансцилляторного переноса составляет половину от максимального. Значение граничной частоты растет с увеличением коэффициента теплообмена между скелетом и флюидом , и уменьшением эффективной теплоемкости:
Выразив через и положив для песчанника, насыщенного водой получим:
Рис. 2. Зависимость эффективного коэффициента теплопереноса от Ф-1: 1 - при скачкообразных колебаниях; 2 - при гармонических колебаниях; 3 - экспериментальные значения
Анализ приведенных в графическом представлении (рис. 2) зависимостей коэффициента трансцилляторной теплопроводности позволяет сделать вывод о том, что основные закономерности рассматриваемого процесса переноса сохраняются при различном характере колебаний.
Баротермический эффект в пласте при пороховом воздействии.
Колебательные движения флюида в пласте, вызванные пороховым воздействием приводят к проявлению баротермического эффекта. Отличие баротермического эффекта от эффекта Джоуля - Томпсона состоит в том, что величина последнего определяется только свойствами жидкости. Баротермический эффект кроме того зависит так же и от свойств скелета (проницаемость, пористость, теплоемкость пористой среды и т.д.).
В данном параграфе проанализированы основные уравнения фильтрации парафинистой нефти с учетом фазовых переходов.
Уравнение неразрывности для фильтрации парафинистой нефти.
Известно, что полная система уравнений, описывающих стационарную фильтрацию однородной несжимаемой жидкости в однородной изотропной пористой среде, состоит из:
- уравнения неразрывности:
где в общем случае , т.е. являются функциями от пространственных координат и времени;
и уравнения баланса импульса, которое было получено А. Дарси экспериментальным путем для случая медленного стационарного движения несжимаемой жидкости в неподвижной изотропной пористой среде. В современных обозначениях данное уравнение именуется законом Дарси и для фильтрации в поле тяжести имеет вид:
Известно, что температурное поле в скважинах и пластах определяется конвективным теплопереносом, теплопроводностью и теплоотдачей, адиабатическим эффектом и эффектом Джоуля-Томпсона, фазовыми переходами при выделении газа и парафинов, а также, в нашем случае, искусственными источниками тепла.
Уравнение теплопроводности, описывающее распространение тепла в заданной области пространства во времени для функции в общем виде можно записать:
Представленная в данной работе математическая модель, описывающая процессы в пласте, исходит из предположений о том, что пористая среда представляет собой многокомпонентую систему, хаотически распределенных частиц, которые, малы по сравнению с физическими объемами, считаемыми элементарными, но имеют достаточно большие размеры для выполнения условий локального равновесия и всех законов сохранения. Предполагается, что средние по всякому элементу поверхности, содержащемуся в элементе объема, равняются средними по этому объему. Кроме того предполагается, что:
- несущая фаза сжимаема;
- твердая фаза парафина и скелет несжимаемы;
- температура и параметры, связанные с ней (насыщенность подвижной/неподвижной фаз парафина и результирующая парафинонасыщенность являются адиабатическими параметрами, т.е. за период колебания не успевают заметно измениться.
Случай изотропной среды.
Как было показано выше, истинная скорость стационарной фильтрации в полях сил тяжести и других массовых сил подчиняется закону Дарси, который записывается в виде:
Нетрудно показать, что соотношение эквивалентно наличию объемных фиктивных сил трения:
,
В случае нестационарной фильтрации для описания процессов в пласте использовано уравнение движения, в котором учтено действие сил трения:
. (1)
Если выражение для силы трения представить в виде:
, (2)
то уравнение движения жидкой фазы:
, (3)
когда полное ускорение жидкой фазы равно нулю , сводится к закону Дарси для истинной скорости фильтрации :
. (4)
Закон изменения (сохранения) массы фильтрующейся жидкости при отсутствии источников записывается в форме уравнения неразрывности, где в дивергентном слагаемом полагаем , :
. (5)
В уравнении движения (3) также полагаем и , и пренебрегаем слагаемыми второго порядка по скорости. Затем подействуем оператором набла на полученное векторное уравнение, имеем:
. (6)
Далее подставим в (6) значение , найденное из (5):
.
Дальнейшие преобразования первого слагаемого осуществим в предположении, что компоненты тензора проницаемости не зависят от пространственных координат и времени:
. (7)
Для слабо анизотропной среды, когда разница между компонентами тензора проницаемости много меньше их полных значений, двумя последними слагаемыми в (7) можно пренебречь. Исключив дивергенцию вектора скорости с помощью линеаризованного уравнения неразрывности, получим:
=. (8)
Для линеаризованных уравнений состояния для жидкой фазы с = с(P,T) = = и скелета сs = сs(P,T) = баротропное приближение для произведения плотности жидкости на пористость может быть представлено в линеаризованной по давлению форме:
, .
С учетом этого уравнение для поля давления в анизоторопной однородной среде представляется в виде:
. (9)
Найденное уравнение позволяет определить две скорости распространения фильтрационной волны, относящиеся к соответствующим координатам и соответствующие коэффициенты пъезопроводности:
, ,, .
Сжимаемость пористой среды в выражается через сжимаемости жидкости и скелета:
.
Итак, фильтрационно-волновое поле давления в пористой среде в указанных выше приближениях описывается уравнением:
. (10)
Путем сопоставления полученного уравнения с классическим уравнением колебаний определена величина коэффициента затухания, а также выражение для времени релаксации:
,
Для типичных параметров реально встречающихся пластов k 10-12 м2, 0 103 кг/м3, 10-3 кг /(мс), m0 10-1 значение времени релаксации составляет 10-5 с, что соответствует частоте порядка 105 Гц, которая может быть использована для оценки верхней границы.
Далее иллюстрируется построение физико-математической модели установившегося двумерного фильтрационно-волнового поля при заданных гармонических возмущениях давления на границе на основе полученного уравнения (10).
