Расчеты и интерпретация МЦТ и ММ

Расчеты показателей МЦТ и ММ можно осуществить в MS Excel тремя способами с использованием:

o математических операций в соответствующих формул МЦТ и ММ;

o встроенных статистических функций MS Excel;

o специального раздела "Описательная статистика" пакета "Анализ данных". Способ 1. Результаты расчета МЦТ и ММ представлено на рис. 2.37,

соответствующие математические выражения, формулы и функции MS Excel - на рис. 2.38.

Рис. 2.38. Математические выражения для расчета МЦТ и ММ

Мода выборки Мо = 2 (значение 2 встречается в выборке 5 раз). Медиана равна

Мй - ^Х п / 2 ^{+ Х} п / 2 + 1 _ ^Х 12/2 ^{+ Х} 12/2 + 1 _ ^Х 6 ^{+ Х} 7 _ ² + ² _ ⁴ _ 2

~ 2 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2 ^~.

Среднее арифметическое выборки X = - v х _и = - 28 = 2,33.

п 12

Дисперсия выборки ^{в 2} = ^ ^(п '_1) = 1 ^ = ~ ^1,52.

Стандартное отклонение выборки в _х = ^ [^ й = 1,52 "1,23. Асимметрия выборки

Способ 2. Результаты расчетов показателей описательной статистики для четырех выборок представлено на рис. 2.39, графики распределения - на рис. 2.402.43. Для расчетов были использованы такие статистических функций MS Excel:

Рис. 2.39. Расчеты распределения, МЦТ и ММ с помощью функций табличного процессора MS Excel

Распределения рассчитан с помощью функции = ЧАСТОТА () и представлено на рис 2.40-2.43.

Как видно, все выборки унимодальном, характеризуются примерно одинаковыми МЦТ (см. Ячейки F25: J27). Распределение выборки f ₁ (x) имеет нулевую асимметрию (0,00), малый положительный эксцесс (0,20) и среди четырех выборок наиболее соответствует свойствам нормального распределения (рис. 2.40).

Распределение f ₂ (x) характеризуется незначительной отрицательной асимметрией (-0,18) и существенным отрицательным эксцессом (-0,75) (рис. 2.41). Распределение f ₃ (x) "деформирован" в левый бок с асимметрией (0,70) и умеренным положительным эксцессом (0,26) (рис. 2.42). Распределение f4 (x) имеет отрицательную асимметрию (-0,68) еще и положительный положительный эксцесс (0,64). По сравнению со "стандартом" он менее всего соответствует требованиям нормальности среди исследуемых выборок.

Способ 3. Получить показатели МЦТ и ММ выборки с помощью пакета "Анализ данных" раздел "Описательная статистика" можно в такой последовательности действий:

o выполнить команды главного меню Excel [Сервис -> Анализ данных], выбрать раздел "Описательная статистика (рис. 2.44), вызвать диалоговое окно;

Рис. 2.44. Раздел "Описательная статистика"

o установить в диалоговом окне "Описательная статистика" (рис. 2.45) входные данные и параметры вывода, выполнить команду ОК и получить результаты в ячейках колонок С Б (рис. 2.46);

Рис. 2.45. Параметры диалогового окна

o сравнить результаты с расчетами эмпирических МЦТ и ММ предыдущего способа 1 (рис. 2.37), сделать выводы.

Рис. 2.46. Результаты расчета основных показателей описательной статистики

Итак, среди рассмотренных способов расчета статистик (показателей МЦТ и ММ), наиболее эффективным и гибким считаются средства с использованием встроенных статистических функций табличного процессора MS Excel.

Начальные и центральные моменты

Для системной характеристики вариационного ряда используют специальные показатели - начальные и центральные моменты.

Начальный момент к-то порядка вариационного ряда определяется как:

п

^v k = е ^{х к} * ии. (2.13)

Центральный момент к-то порядка определяется по формуле:

п _

^т к = е ^(х "х) ^к * Л, (2.14)

и = и

где Хи - варианты распределения; / _и - дифференциальные относительные частоты, x - среднее арифметическое.

Очевидно, что первый начальный момент (к = 1) имеет смысл среднего арифметического вариационного ряда

п _

^т 1 = х ^х и "- / и = ^{х. (2.15)}

Первый центральный момент (к = 1) равен нулю, что обусловлено свойствами среднего

п _

т = е (х - х) ■ / и = о. (2.16)

Второй центральный момент (к = 2) - это дисперсия ¡1 вариационного ряда

п _

^т 2 = е ^(х ~ ^{х) 2} ■ / и = ^я х ^2. (2.17)

Третий центральный момент (к = 3) характеризует асимметрию распределения

тс = £ (Х и - X) ³ / _и.

Если разделить третье центральный момент т ₃ на куб середньоквадра ческого отклонения (я _х) ^{3, то получим} коэффициент асимметрии распределения ^ 4 _х:

7% £ ^(х - ^{Х) 3 В} = ^А *. (2.18)

С ⁵ *) С ⁵ *) 1 = 1

Четвертый центральный момент т ₄ дает возможность оценить "заостренность" вариационного ряда, то есть оценить эксцесс

т4 = £ (х - X) ⁴ /. Коэффициент эксцесса Е _х определяется через 4-й центральный момент т _4:

- ³ - [5 ^(х; - ^{Х) 3 Л] - 3} - ^{Е х (2.19)}

Между центральными и начальными моментами существует связь: ^т! = 0

что вытекает из преобразований:

п п п п

т ₂ = £ (X "X) ² / = е (* ^{2" 2х, Х + X v, = £ х 2} В) е (2х, Х-X ^{2) /} _и = и = и и = и и = и и = и

= В _г х (х, Х + х ~ Х-X ^{2) / и} = у _г Х% / Х £ (х, -X) /; ^ 2 - ^ -0 = в _г -V ²

i = 1 i = 1 i = 1

п п

Итак, если т ₂ = ^v 2 = е ^х и "й;, ^v l = е ^х; 'й;, то можно получить еще одно соотношение, которое используется для расчета дисперсии:

п (п ²

i = 1 v i = 1)

Центральные моменты 3-го и 4-го порядка тоже можно записать с помощью начальных моментов:

т ₃ = v ₃ - 3 ^ ₂ + 2v ^{3, (2.20)}

т ₄ = v ₄ - 4 ^ ₃ + 6v _одна ² v ₂ - 3v ⁴ и т.д.

Практика статистических исследований ограничивается, как правило, использованием моментов до 4-го порядка.

На основе сравнения значений теоретических и выборочных моментов выполняется оценивания параметров распределений случайных величин (см., Например, раздел 4 "Методы статистического оценивания»).