Корреляционного анализа

Задачей описательной статистики является не только систематизация эмпирических данных в виде распределения частот и расчеты типовых показателей МЦТ и вариаций признаков ММ, но и выявление связи между переменными, оценка его направления и интенсивности. Сравнивая различные виды связей, можно выделить три типа зависимостей между переменными X и Y:

функциональная зависимость определяет значение переменной Y от X однозначно;

корреляционная зависимость определяет среднее значение переменной Y от X;

стохастическая зависимость определяет распределение переменной Y от X.

Итак, наиболее общей считается стохастическая зависимость. Корреляционная зависимость является зависимостью стохастической, функциональная - рассматривается как частный случай корреляционной зависимости.

Сущность корреляции

Корреляция (от лат. Correlatio - соотношение) - это статистическая зависимость между случайными величинами, носит вероятностный характер.

Корреляционные связи можно изучать на качественном уровне с диаграмм рассеяния эмпирических значений переменных X и Y (рис. 2.51) и соответствующим образом их интерпретировать. Так, например, если повышение уровня одной переменной сопровождается повышением уровня другой, то речь идет о положительную корреляцию или прямая связь (рис. 2.51 а, б). Если же рост одной переменной сопровождается снижением значений другой, то мы имеем дело с отрицательной корреляцией или обратной связью (рис. 2.51 г, г). Нулевой называется корреляция при отсутствии связи переменных (рис. 2.51 в). Однако нулевая общая корреляция может свидетельствовать лишь об отсутствии линейной зависимости, а не вообще об отсутствии любого статистического связи.

Рис. 2.51. Диаграммы рассеяния эмпирических значений переменных X и Y:

а) строгая положительная корреляция; б) сильная положительная корреляция; в) нулевая корреляция; г) умеренная отрицательная корреляция; г) строгая отрицательная корреляция; д) нелинейная корреляция

В психолого-педагогических исследованиях в основном наблюдаются связи нелинейные (см. Рис. 2.51 д). Например, рост мотивации сначала повышает эффективность научения, а затем наступает снижение производительности (эффект "перемотивации" - закон Иеркса-Додсона). Количественная мера корреляционной связи оценивается по значениям коэффициентами корреляции в пределах от -1 до +1. Отрицательные значения коэффициентов указывают на обратную связь, положительные - на прямую. Нулевое значение может свидетельствовать об отсутствии связи. Интенсивность связи (слабая связь - умеренный - существенный - сильный) оценивается по абсолютному значению коэффициентов корреляции.

Методы расчета степени корреляционных связей тесно связаны с применяемыми измерительными шкалами (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Коэффициенты корреляции в зависимости от типов измерительных шкал

Изучение связи между признаками, которые принимают случайные значения, начинается с оценки его линейности.

Линейная корреляция

Линейный корреляционная связь для эмпирических данных, измеренных по шкале интервалов или отношений, оценивается с помощью коэффициента корреляции Пирсона г _ху

где Хи и в и - значения переменных X и Y; х и у - средние X и Y; п - объем выборки.

⁸ Указанные методы расчета с использованием компьютерной техники можно найти в учебнике [56].

Формула (2.22) может быть преобразована, если заменить значения переменных Х и и в и нормируемыми значениями 2 _х и г _{в, и будет выглядеть так:}

Пример 2.7. Оценить связь между переменными X и В по эмпирическим данным таблицы рис. 2.52 двумя способами с использованием формул (2.22) и (2.23). Способ 1.

Последовательность решения:

o оценить характер линейности связи между признаками X и Y с помощью диаграммы рассеяния (рис. 2.52);

Рис. 2.52. Диаграмма рассеяния признаков

o том, что корреляция линейная и продолжить расчеты коэффициента корреляции Пирсона г _ху (рис. 2.53 и 2.54);

o в ячейках В16 и С16 рассчитать средние значения х и у

х = и х _и = 112,00; В = ¹ ул = 18,17;

o в ячейках и в15 рассчитать суммы квадратов разниц:

X (х - X) ² = 386,00; £ (у, - в) ² = 311,67;

¡= 1, = 1

Рис. 2.53. Результаты расчета коэффициента корреляции г _ху

o в ячейке Н18 рассчитать сумму произведений разниц:

X (х _и - X) o (в _и - у) = 242,00;

¿= 1

o в ячейке В17 рассчитать коэффициент корреляции г _ху по формуле:

ГХУ = ■ ^242,00 - 0,70. л / 386,00 o 311,67

Рис. 2.54. Расчетные формулы Значение г _ху ~ +0,70 свидетельствует о существенном прямая связь между признаками.

Способ 2.

Последовательность решения:

o Результаты расчета г _ху по нормируемым данным показано на рис. 2.55, расчетные формулы рис. 2.56.

Рис. 2.55. Результаты расчета г _ху по нормируемым данным

o в ячейках В16 и С16 рассчитать средние значения х и у;

o в ячейках В17 и С17 рассчитать стандартные отклонения в _х и в _в;

Рис. 2.56. Формулы расчета г _ху по нормируемым данным o в столбиках Б и Е рассчитать нормированные данные 2 _х и 2 _в (обратите внимание,

что среднее нормированных данных равна 0, а стандартное отклонение - 1,00);

o в ячейке В18 рассчитать коэффициент корреляции r _xy по формуле (2.23);

Выводы. Одно и то же значение r _xy ~ +0,70 рассчитан двумя способами. Методы расчета по нормируемым данным выглядит более лаконично. Значение парного коэффициента корреляции Пирсона r _xy можно получить с помощью специальной функции MS Excel = Пирсон ().