ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Основной задачей математической статистики является описание и объяснение вероятностной поведения объектов исследований. Математическая статистика решает эту задачу изучением генеральной совокупности с помощью выборочной совокупности - выборки. Исследуя ту или иную выборку, имеют в виду ее случайную (вероятностную) природу, то есть выборку рассматривают как совокупность случайных значений, что характеризует определенные свойства генеральной совокупности. Для получения случайных значений организуют испытания (экзамены, наблюдения и т.п.) при определенных (известных) условиях. Итак, оценивая генеральную совокупность с помощью выборки по ее вероятностными свойствами, мы постоянно имеем дело с совокупностью полученных значений случайных событий, полученных в результате испытаний.
Учитывая то, что свойства случайных событий изучает теория вероятностей, которая считается теоретической базой статистических исследований, рассмотрим основные понятия и закономерности этой области математических знаний.
Напомним, что совокупность полученных в испытаниях эмпирических значений случайной величины также называют выборке, подлежит статистической обработке. Слово "эмпирическая" означает то, что статистические вычисления производятся по данным испытаний (опытов или наблюдений). По этой же причине для понятия "совокупность выборочных значений" используют термин "выборочная функция" распределения. Например, в результате повторных измерений некоторой величины получено п значений Х /, х 2, ... х п. Эти значения естественно считать реализацией набора с п независимых одинаково распределенных случайных величин с неизвестной функцией распределения Р (х), свойства которой необходимо определить, найти.
Чтобы оценки были достоверными, выборка должна быть представительной (репрезентативной). ее вероятностные свойства должны совпадать или быть близкими к свойствам генеральной совокупности. Это можно достичь, если гарантировать всем объектам генеральной совокупности одинаковую вероятность попасть в выборку.
ИСПЫТАНИЯ И СОБЫТИЯ
Основные понятия и определения
С точки зрения теории вероятностей исследования свойств генеральной совокупности путем изучения свойств выборки выполняют с помощью моделирования ситуации случайных событий, полученных в результате испытаний.
Испытания - это осуществление определенных действий или условий, которые можно восстановить произвольное число раз (например, выполнение студентами или учащимися теста).
Элементарное событие (ю) - возможный результат испытания (например, результат выполнения одной задачи: "выполнено" - "не выполнено", "1" - "0"). Понятие элементарного события принадлежит к основным понятиям теории вероятностей и не определяется через другие более простые понятия.
Сформулируем сначала основные понятия алгебры событий, связанных с испытаниями, на описательном уровне.
Совокупность всех возможных элементарных событий {а> 1, а> 2, со п} образует пространство элементарных событий Ео.). Запись в скобках читается: "Элементы й принадлежат к пространству О". В дальнейшем считать, что пространство элементарных событий О является величина окончена.
Случайным событием А называется всякий результат испытания, может произойти или не произойти. Случайной может быть как элементарное событие ю (например, результат выполнения студентом одной задачи), так и совокупность {й 1, а> 2, со т} из пространства событий {а> ь а> 2, со п} (например, выполнение нескольких т задач п предложенных, где т <п). Для случайного события А можно записать А (ю является А), то есть элементы й принадлежат к событию А. В свою очередь событие А (А Ео.) Принадлежит к пространству событий А.
Достоверной является событие V, которая в испытании обязательно должна состояться.
Невозможной называется событие V, которая в испытании не может произойти.
Событие А называется противоположной события А, если она состоит в непоявлении события А.
Произведением А ■ В событий А и В называется событие С, заключается в совместном появлении и события А, и события В, то есть С = А ■ В.
Суммой а + В событий а и В называется событие с, заключается в появлении хотя бы одного из событий а или В, то есть С = а + В.
События называются независимыми, если наступление одного никоим образом не влияет на появление другого, иначе они зависимы.
События являются несовместимыми, если в результате испытаний они не могут произойти одновременно иначе они считаются совместимыми. Никакие две несовместимые события не могут произойти вместе.
Полной группой событий называется такая совокупность попарно несовместимых событий, для которой их сумма является достоверным событием А. Другими словами, в результате испытаний для полной группы нескольких событий непременно должна состояться хотя бы одна из них.
Итак, первым шагом при построении вероятностной модели реального явления является выделение в испытаниях возможных как элементарных, так и сложных случайных событий, определения их свойств (зависимые - независимые, совместимы - несовместимы и т.п.), а также возможных результатов операций над событиями ( суммы, произведения, дополнения и др.). Однако, представленный выше понятийный аппарат алгебры событий на описательном уровне не способен к количественной оценке этих событий, а, значит, не дает корректной возможности в построении вероятностных моделей объектов реальности.
Принятый в современной математической науке аксиоматический подход к теории вероятностей, разработчиком которого был Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987), базируется на теории множеств. И хотя основы теории вероятностей был сформирован ранее (ХУН-ХУШ в.), Чем создана теория множеств (в основном в XX в.), Последняя дает возможность рассматривать теорию вероятностей и математическую статистику как неотъемлемую часть математики, проводить доказательства, доказывать теоремы , формулировать определение на уровне математической строгости. Проиллюстрируем основные операции над событиями с помощью математического аппарата теории.
