Операции над событиями

Основные операции над событиями можно продемонстрировать примерами алгебры событий - алгебры Буля - в виде диаграмм Венна (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Операции над событиями

С математической точки зрения события рассматриваются как подмножества (А, В, С, ...) множества В элементарных событий й. Итак, пространство элементарных событий - это некоторое множество В, а элементарные события - это ее элементы ю.

Операции над событиями можно рассматривать как операции над соответствующими под-множественного числа, например, опилками А и опилками В полной множества В элементарных событий й.

Если в результате испытаний происходит элементарное событие ю, которая принадлежит множеству А, то утверждается, что событие А также состоялась.

Рассмотрим основные операции над событиями с точки зрения теории.

Пример 3.1. Даны пространство элементарных событий (множество В) как совокупность натуральных чисел {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. В результате испытаний зафиксировано ряд событий. События А, В, С, В и ¥ как подмножества множества В включали следующие элементы: Л = {2,3}; В = {2,3,4,5}; С = {3,4,5,6}, В = {6,7,8,9} и ¥ = {2,3,4,5}. Выяснить свойства основных операции алгебры событий.

Решение:

а) по условиям примера все элементы подмножества Б = {2,3,4,5} принадлежат множеству ^ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. По аналогии с операций над множествами это значит, что и соответствующее событие бы принадлежит к пространству событий О, то есть б <е в. (рис. 3.1а)

б) все элементы подмножества ^ 4 = {2,3} относятся к подмножества Б = {2,3,4,5}, поэтому в случае появления события а будет происходить и событие Б. В этой ситуации можно утверждать, что в случае осуществления событие а вызывает появление события Б. Такую операцию называют "следования" и записывают как а с б (рис. 3.16);

в) подмножества ¥ и бы состоят из одинаковых элементов: Б = {2,3,4,5} и ¥ = {2,3,4,5}. Это значит, что событие бы всегда вызывает появление события ¥, то есть б с ¥. В свою очередь событие ¥ вызывает появление события Б, то есть ¥ с б. Итак, события ¥ и бы эквивалентны. Эквивалентность событий записывают как ¥ = Б (рис. 3.1в)

г) событие В, которая происходит, когда происходит событие В, называется противоположной события В. Противоположность события В определяется как дополнение подмножества Б, то есть б = О В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} {2,3,4,5} = {1, 6, 7 , 8, 9}. Отсюда В = {1, 6, 7, 8, 9} (закрашена площадь на рис. 3.1г)

г) произведение В-С событий В и С - это событие, которое заключается в совместной появлению и события В, и события С. Произведение событий определяется пересечением соответствующих множеств В и С: БП С = {2,3,4,5} Г | {5,6,7,8} = {5}. Произведение событий В-С имеет место, когда некоторые подмножества элементарных событий относятся как множестве В, так и множеству С (рис. 3.1г). В примере общей опилками является элементарное событие ю = {5};

д) сумма В + С событий В и С - это событие, которое заключается в появлении хотя бы одного из событий или В, или С Сумма событий определяется операцией объединения соответствующих множеств В и С Б и С = {2,3,4,5} и {5,6,7,8} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Итак сумма событий В + С имеет место, когда происходит хотя бы одна какая-то элементарное событие ю из опилок {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (см. Рис. 3.1д)

Произведение событий В-С и сумма событий В + С, определенных выше аналогии операций теории множеств (рис. 3.1 г, д), имеют место для так называемых совместных событий B и C, которые могут происходить вместе. Однако события, которые в результате испытаний не могут произойти одновременно, является несовместимыми. Операции произведения несовместимых событий BD и суммы этих событий B + D продемонстрировано на рис. 3.1е, есть;

е) по условиям примера произведение несовместимых событий BD определяется пересечением соответствующих множеств В и D: B Г | D = {2,3,4,5} Г | {6,7,8,9} = {} = 0. В результате получим так называемую пустую подмножество 0, которой соответствует невозможное событие. Как видно из рис. 3.1е, подмножества В и D не имеют общих элементов - они несовместимы. Итак произведение несовместимых событий В-С является невозможной событием;

е) сумма В + D несовместимых событий В и D определяется объединением соответствующих множеств В и D: BUD = {2,3,4,5} ЭТИ {6,7,8,9} = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Сумма несовместимых событий включает все элементарные события каждой отдельной события (рис. 3.1 есть).

Таким образом, операции над событиями можно рассматривать как операции над соответствующими подмножествами. Алгебра событий изоморфно отображается на алгебре множеств. Однако в теории вероятностей для обозначения собственных понятий используются свои термины, несколько отличаются от сроков теории. Соответствие между терминологическими рядами двух математических дисциплин можно представить с помощью табл. 3.1.

Таблица 3.1

Соответствие сроков теории вероятностей и теории множеств