Вероятность событий
Случайное событие можно предсказать лишь с некоторой вероятностью.
Вероятность события - это численная мера объективной возможности этого события (интуитивное определение вероятности). Вероятность события А обозначается Р (А). Если осуществлять различные испытания, то можно констатировать, что различные случайные события могут иметь разную вероятность возникновения.
Вероятность невозможного события и равна нулю, Р (Ц) = 0.
Вероятность достоверного события V равен единице, Р (В) = 1.
Следовательно, вероятность Р (А) любой случайного события А находится между нулем и единицей: 0 <Р (А) <1.
Иногда события можно считать равновозможными, если по условиям испытаний отсутствуют основания считать некоторые из них более возможными, чем любые другие. Если несколько событий: 1) образуют полную группу; 2) несовместимы; 3) ре-вноможливи, то они называются "случаи".
Классическая вероятность события А - это число Р (А), к которому приближается отношение количества появлень желаемой события А к общему числу возможных событий выборочного пространства при увеличении независимо выполненных испытаний:
_ Количество _ появлень _ желаемой _ события _ А
Р (А) =:: ттт -. (3.1)
общая _ количество _ возможных _ событий
Если результаты опыта сводятся к схеме случаев, то вероятность события А вычисляется как относительная частота совершения события А:
Р (А) = т, (3.2)
п
где т - количество появлень желаемых случаев или благоприятных событий; п - общее количество случаев.
Итак, для случайной выборки объемом п относительные частоты / Цх 1) = т и / п можно трактовать как вероятности р (х) появления значений вариант х -.
Пример 3.2. Найти численное значение вероятности Р (А) события А, что студент на экзаменах с 20 равновозможных билетов (это общее количество случаев) вытащит с первого раза билет №7 (желаемый выборочный объект).
Решение: Количество появлень желаемых событий m = 1, общее количество случаев n = 20. Значение вероятности Р (А) события А - это отношение m / n:
P (A) = m = - = 0,05 = 5%. n 20
Ответ: вероятность извлечь с первого раза билет №7 составляет 0,05 или 5%.
Пример 3.3. Студент знает ответ только на 5 экзаменационных билетов и не знает ответа на оставшиеся 15 билетов. Какова вероятность того, что первый вытянутый наугад билет окажется таким, на который студент знает ответы?
Решение: Общее количество билетов составляет 5 + 15 = 20 (n = 20), благоприятных для студента результатов всего 5 (m = 5). Отсюда вероятность желаемой события:
P (A) = m = - = 0,25 = 25% n 20
Ответ: вероятность извлечь желаемый билет составляет 0,25 или 25%.
Следовательно, вероятность события является основным понятием теории вероятности, однако рассмотрены классические определения вероятностей, а также приведены примеры дают лишь общее интуитивное представление относительно оценки и прогнозирования вероятности. Эти методологические подходы не дают строгих численных значений. Не все события можно считать равновозможными, не все вероятности можно оценивать как сходимости частот, неясно и то, сколько испытаний следует осуществлять и др.
Рассмотрим определение вероятности в рамках аксиоматического подхода к математической модели, которая была предложена AM Колмогоровым.
Определение. Вероятность. Пусть конечное множество Q = {co} является пространством элементарных событий й, соответствующие некотором стохастической 9 опытом. Пусть каждой элементарной события ю, которая относится к множеству Q, то есть йеП, поставлены в соответствие неотрицательное число Р (со), то есть Р (со)> 0. Число Р (со) обозначим как вероятность элементарного события й, причем сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1, то есть:
£ РИ = 1 (3.3)
weq
Пара {Q, Р} является вероятностным пространством, который состоит из конечного 9 Стохастический (от греч. Stochastikos - способен угадывать), случайный, вероятностный.
множества В и неотъемлемой функции Р, определенной на множестве В и удовлетворяет условию (3.3). Отсюда вероятность Р (А) некоторого события А равна сумме вероятностей элементарных событий й, входящие в события А:
Р (А) = Е РИ. (3.4)
Тогда любую числовую функцию Р (А), определенную на конечном множестве Си = {й}, которая является пространством элементарных событий й, называют вероятностью, если выполняются три условия (аксиомы Колмогорова):
1) Р (А)> 0 для любой А есть В .;
2) ГП) = 1;
3) Р (А 1 в А 2 и А 3 и ...) = Р (А 2) + Р (А 3) + ... для попарно несовместимых случайных событий (А и р | А х = 0, и Ф _)).
Итак, сконструирован математический объект, который можно применять при построении вероятностных моделей. Например, испытаниям с подбрасыванием монеты соответствует вероятностное пространство {Си, Р}, где В = {ГД} - множество элементарных событий; Р (Г) = Р (Ц) = 4 - вероятности элементарных событий; обозначения элементарных событий: Г - "выпал герб", Ц - "выпала цифра".
Аксиоматическое определение вероятности Р (А) согласится с интуитивным, согласно которому вероятность события А - это число от 0 до 1, что является совпадением частоты реализации события А при неограниченном числе повторений и постоянных условиях испытаний.
Из определения вероятности события, а также условий (3.3) и (3.4) вытекают другие свойства вероятностей:
4) Для любого события А вероятность противоположного события Р (А) = 1 - Р (А).
5) Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р (А) + Р (А) = 1.
6) Вероятность достоверного события Р (СИ) = 1 (по аксиомой 2).
7) Вероятность невозможного события Р (О.) = 1 - Р (С £) = 1 - 1 = 0.
8) Вероятность произведения АР совместных событий А и В: Р (А ■ В) = Р (А) ■ Р (Б). Из диаграммы рис. 3.2а видно, что совместные действия А и Б имеют общую (совместную) площадь событий (закрашена площадь), поэтому вероятность произведения совместных событий Р (АР)> 0.
9) Вероятность суммы А + В совместных событий А и В определяется формулой: Р (А + В) = Р (А) + Р (В) -Р (А ■ В), где Р (А ■ В) - вероятность произведения событий А и В. Из диаграммы рис. 3.26 видно, что события А и В имеют совместную площадь событий, которая меньше суммы отдельно взятых событий А и В на величину произведения АР событий А и В. В соответствии вероятность суммы совместных событий Р (В + С) <Р (В) + Р (С).
Рис. 3.2. Вероятности произведения и суммы совместных событий А и В
10) Вероятность произведения АР несовместимых событий А и В равна нулю. Из диаграммы рис. 3.3а видно, что несовместимые события А и В не имеют общей площади, пересечение соответствующих подмножеств является пустое множество 0 событий, поэтому вероятность произведения несовместимых событий Р (АР) = 0.
11) Вероятность суммы А + В несовместимых событий А и В определяется упрощенной формуле: Р (А + &) = Р (А) + Р (В). Из диаграммы рис. 3.36 видно, что события А и В не имеют общей площади событий, которая уменьшала общую сумму отдельно взятых событий В и С.
Рис. 3.3. Вероятности произведения и суммы несовместимых событий А и В
12) Сумма вероятностей всех несовместимых событий {А 1, ^ 4 2, а п}, образующих полную группу, равна единице
Р (АЛ + Р (А 2) +, + Р (Ап) = 1 или £ Р (А) = 1.
При применении методов теории вероятностей и математической статистики используется понятие независимости событий. События А, В, С, ... являются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей осуществления каждой из них в отдельности: Р (АР ^ С) = Р (А) -Р (ВУР (С) ....
Согласно этому определению осуществления или неосуществления одной независимой события не должно влиять на осуществление или неосуществление другой. Например, в испытаниях при независимом подбрасывании двух монет пространство элементарных событий состоит из четырех элементов: ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ (обозначение элементарных событий: ГГ - для первой монеты выпал герб и для второй - тоже герб; ЦГ - для первой - цифра, для второй - герб и т.д.). Поскольку события типа "Г - для первой монеты выпал герб" и "Г - для второй монеты выпал герб" независимы по определению независимых испытаний и вероятность каждого из них равна 4, то вероятность события ГГ равен 4 - 4 = А Аналогично вероятность каждого из других элементарных событий также равна А. Отсюда сумма вероятностей всех четырех элементарных событий равно единице.
