Условная вероятность
Если событие А происходит в испытаны, которое ограничено дополнительными условиями осуществления события В, то мера возможности события А определяется условной вероятностью р (а | б). Итак, условной вероятностью Р (а | б) называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В уже произошло.
Условная вероятность имеет смысл для зависимых событий. Для независимых событий А и В условная вероятность превращается в обычную:
Р (а | б) = Р (А), или Р (Б | А) = Р (Б).
Итак независимые события (по определению) не меняют вероятности появления другой.
Вероятность произведения зависимых событий А и В определяется по формуле:
р (А ■ В) = Р (а | б) o Р (Б). (3.5)
Условная вероятность Р ^ В) как вероятность осуществления события А при условии, что событие В состоялась, то есть р (В)> 0, определяется из (3.5):
Р (а | б) = Р (а 'в). (3.6)
^ И> р (б) ^>
Для независимых событий формула упрощается и принимает уже известный вид:
Р (А ■ В) = Р (А) o Р (В).
Пример 3.4. В академической группе 15 ребят и 10 девушек. Какова вероятность того, что двое наугад и подряд избранных студентов окажутся девушками?
Решение: Общая желательна событие А (выбор наугад двух студентов-девушек) состоит из произведения двух событий: В 1 (случайный выбор одной девушки) и _8 2 (случайный выбор еще одной девушки), то есть Р (А) = Р (В 1 o В 2). Вероятность события В 1 - Р (В 1). Наступление события _8 2 происходит после события В 1 и оценивается условной вероятностью Р (В 2 | В 1). Вероятность произведения зависимых событий В 1 и _8 2 равна: Р (В 1 o В 2) = Р (В 1) o Р (В 2 | В 1).
Вероятность события В 1 определяется как отношение количества девушек (10) до
общего количества студентов (10 + 15), то есть Р (В 1) = = 0,4.
Наступления события В 1 меняет условия для оценки вероятности события _8 2, а именно: уменьшается и количество девушек (10-1) = 9, и общее количество студентов (9 + 15) = 24. Тогда вероятность события _8 2 как отношение количества девушек (9) до за-
9
общего количества студентов (24) равна Р (В 2 | В 1) = 9-15 = 0,375.
Отсюда вероятность Р (А) события А будет составлять
Р (А) = Р (В 1 ■ В 2) = Р (В 1) o Р (В 2 | В 1) = 0,4 o 0,375 = 0,15 = 15%.
Ответ: вероятность выбора наугад двух студентов-девушек составляет 15%.
Формула полной вероятности
Предположим, что пространство событий (множество £ 2) состоит из п попарно несовместимых событий - подмножеств Н 1, Н 2, Н 3, ..., Н п (см. Рис. 3.4).
Рис. 3.4. Пространство событий {Н 1, Н 2, ..., Н п} является £ 2
Из рис. 3.4 видно, что событие А можно представить как сумму произведений события А и каждого из событий Н 1, Н 2, ..., Н п (сумма сечений подмножеств А с подмножествами Я):
А = А-И х + А-И г + ... + А-И п = £ А ■ Я ..
Вероятность события А (по теореме сложения вероятностей) определится
Р (А) = £ Р (А ■ Я ,.).
Вероятность события А (по теореме умножения вероятностей) определится:
Р (А) = И Р (А | Ни) o Р (Н,). (3.7)
¿= 1
Выражение (3.7) является формулой полной вероятности Р (А) события А, если событие А зависит от системы событий. События Н 1, Н 2, ..., Н п принято называть гипотезами, по которым может произойти событие А.
Пример 3.5. В трех группах студентов (численностью 28, 20 и 25 человек) отличники составляют 7, 2 и 5 студентов соответственно. Какова вероятность того, что наугад выбранный студент является отличником?
Решение: Пространство событий (множество О.) состоит из 3-х попарно несовместимых событий - подмножеств Н 1, Н 2, Н 3 (см. Рис. 3.5). Событие А - это результат испытания - выбора наугад студента-отличника с вероятностью Р (А).
Рис. 3.5. Пространство событий {Н 1, Н 2, Н 3} является £ 2
Вероятность Р (А) рассчитывается по формуле полной вероятности (n = 3):
Р (А) = £ Р (А | H [) o Р (Я,) = Р (А | o РЯ1) + Р (А | Я2) o Р (Н 2) + Р (А | Я3) o Р ( Н,).
¿= 1
Вероятность гипотезы Я 1 (события о том, что отличник выбран из 1-й группы):
Р (Я1) = - 28 - = ^ "0,38.
28 + 20 + 25 73
Вероятность гипотезы Я 2 (события о том, что отличник выбран из 2-й группы):
Р (Я2) = --- 2 ---- = - 2 - 0. 0,27. 28 + 20 + 25 73
Вероятность гипотезы Н 3 (события о том, что отличник выбран из 3-игрупы):
25 25
Р (# 3) = - 25 - = - * 0,34.
28 + 20 + 25 73
Условные вероятности события А для каждой гипотезы рассчитываются как: Р (Л | Я.) = ^ = 0,25; Р (ЛН 2) = ^ - = 0,10; Р (ЛН 3) = ^ = 0,20.
28 20 25
По формуле полной вероятности Р (А) рассчитывается как:
Р (Л) = Р (Л | Я 1) o Р (Я 1) + Р (Л | Я 2) o Р (Я 2) + Р (Л | Я 3) o Р (Я 3) или
Р (Л) = 0,25 o 0,38 + 0,10o 0,27 + 0,20o 0,34 "0,095 + 0,027 + 0,068" 0,19.
Ответ: вероятность Р (А) события А о том, что наугад выбранный из трех групп студент является отличником, составляет примерно 0,19 или 19%.
Пример 3.6. В академической группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 человека подготовлены отлично, 4 - хорошо, 2 - удовлетворительно и 1 - плохо. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовлен - на 16, удовлетворительно - на 10 вопросов, плохо - на 5 вопросов. Какова вероятность того, что наугад вызванный из этой группы студент ответит на два заданных вопроса?
Решение: Пространство событий (множество О.) состоит из 4-х несовместимых событий -пидмножин Н 1, Н 2, Н 3, Н 4 (см рис. 3.6).
Рис. 3.6. Пространство событий {Н 1, Н 2, Н 3, Н 4} является £ 1
Событие А - это результат испытания - выбора наугад студента, который успешно ответит на два заданных вопроса. Р (А) - вероятность этого события раз-
начисляется по формуле полной вероятности (n = 4):
Р (А) = Е Р (А | Я,) o Р (Я,).
¿= 1
Выдвигаем четыре гипотезы о вероятности появления (в результате вызова наугад) того или иного студента с определенной подготовкой:
- Гипотеза Н 1: это будет студент, подготовленный отлично, вероятность его появления Р (Н 1) = 3/10 = 0,3;
- Гипотеза Н 2: это будет студент, подготовленный хорошо, вероятность его появления Р (Н 2) = 4/10 = 0,4;
- Гипотеза Н 3: это будет студент, подготовленный удовлетворительно, вероятность его появления Р (Н 3) = 2/10 = 0,2;
- Гипотеза Н 4: это будет студент, подготовленный плохо, вероятность его появления Д # 4) = 1/10 = 0,1.
Условные вероятности выполнения двух заданий студентов с определенной подготовкой рассчитываются как вероятности произведения двух зависимых событий (событий успешного выполнения двух задач). Согласно теореме умножения:
- Условная вероятность выполнения двух задач студентом, подготовлен отлично, равно Р (АН 1) = (20/20) - (19/19) = 1;
- Условная вероятность выполнения двух задач студентом, подготовлен хорошо, равно Д ^ Яг) = (16/20) - (15/19) ~ 0,63;
- Условная вероятность выполнения двух задач студентом, подготовлен удовлетворительно, равно Р (АЩз) = (10/20) (9/19) ~ 0,24;
- Условная вероятность выполнения двух задач студентом, подготовлен плохо, равно Р ^ НЛ = (5/20) - (4/19) ~ 0,053.
По формуле полной вероятности Р (А) рассчитывается как:
Р (А) = Р (А | Я ^ ■ Р (Н 1) + Р (А | Я2) o РЩ 2) + Р (А Щ3) ■ РЩ,) + Р (А | Я4) o РЩ Л)
или
Р (А) = 1-0,3 + 0,63-0,4 + 0,24-0,2 + 0,053-0,1 = 0,605 = 60,5%. Ответ: вероятность Р (А) события А о то, что вызванный наугад студент ответит на два заданных вопроса, составляет примерно 0,605 или 60,5%.
