Формула Байеса
Формула полной вероятности дает возможность рассчитать вероятность Р (А) события А, если она зависит от системы событий-гипотез Н 1, Н 2, ..., Н п, по условным вероятностями которых Р (А | Р (а | н 2) , "., Р (а | н п) может произойти это событие А. А. важной задачей математики являются расчеты условной вероятности Р (р, | а) гипотезы нет, если известно, что в испытании событие А уже произошло. Согласно теореме умножения вероятностей можно записать Р (р, - А) = Р (Щ - Р (А | нет) = Р (А) - Р (р, | Л).
Отсюда
г. ини а) = р (н 1) o Р (А | Я 1). (3.8)
1 Р (А)
Если знаменатель Р (А) заменить формулой полной вероятности (3.7), получим формулу Байеса:
Р (Я, | А) = п Р (Д 1) o Р (А 'Я и), (3.9)
Е Р (Н,) o Р (А | Нет)
1 = 1
где н 1, н2, ..., н п - попарно несовместные события, образующих полную группу.
Формула Байеса дает возможность подсчитать "апостериорные" 10 вероятности р (ни | А) с помощью "априорных" 11 вероятностей Р (н) "гипотез" Я, -.
Пример 3.7. По условиям примера 3.6 вызван наугад студент ответил на три заданных вопрос. Какова вероятность того, что этот студент является: а) отлично подготовлен; б) подготовлен плохо?
Решение: Выдвигаем четыре гипотезы о вероятности появления (в результате вызова наугад) того или иного студента с определенной подготовкой:
- Гипотеза н и: это был студент, подготовленный отлично, вероятность его появления Р (р 1) = 3/10 = 0,3;
- Гипотеза н 2: это был студент, подготовлен хорошо, вероятность его появления Р (р 2) = 4/10 = 0,4;
10 a posteriori (лат.) - На основе опыта.
11 a priori (лат.) - До опыта.
- Гипотеза Н 3: это был студент, подготовленный удовлетворительно, вероятность его появления Р (Н 3) = 2/10 = 0,2;
- Гипотеза Н 4: это был студент, подготовленный плохо, вероятность его появления Р {Н 4) = 1/10 = 0,1.
Условные вероятности выполнения трех задач того или иного студента с определенной подготовкой рассчитываются как вероятности произведения трех зависимых событий (успешного выполнения трех задач). Согласно теореме умножения:
- Условная вероятность выполнения трех задач студентом, подготовлен отлично, равно Р (АН,) = (20/20) (19/19) (18/18) = 1;
- Условная вероятность выполнения трех задач студентом, подготовлен хорошо, равно Р (АН 2) = (16/20) (15/19) (14/18) = 0,491;
- Условная вероятность выполнения трех задач студентом, подготовлен удовлетворительно, равно Р (АН 3) = (10/20) - (9/19) o (8/18) = 0,105;
- Условная вероятность выполнения трех задач студентом, подготовлен плохо, равно Р (АН 4) = (5/20) o (4/19) o (3/18) ~ 0,009.
По формуле Байеса:
а) вероятность того, что это был студент, подготовленный отлично, составляет
Р (Н Л А) = 4 Р (Я 1) o Р (Л Н 1), £ Р (Я,) o Р (АЯ,)
или Р (Я 1 А) = - ° 3 - 1 -и 0,58 "58%;
0,3 1 + 0,4 o 0,491 + 0,2 o 0,105 + 0,1 o 0,009
б) вероятность того, что это был студент, подготовленный плохо, составляет
Р (Я 2 А) = - 0,1 '0,009 - "0,002" 0,2%.
0,3 1 + 0,4 o 0,491 + 0,2 o 0,105 + 0,1 o 0,009
Ответ: вероятность того, что на все три вопроса ответил отлично подготовленный студент, равна 58%, в то время как вероятность для плохо подготовленного составляет лишь 0,2%. Полученный результат также может означать, что процедура экзамена по данным критериям имеет достаточно высокий уровень диагностических свойств - сравните 58% для отличника и 0,2% для плохо подготовленного студента.
Элементы комбинаторики
Для решения задач теории вероятностей и математической статистики важное значение имеют такие математические понятия комбинаторики, как перестановка, размещение и комбинация.
Перестановкой с т различных элементов называют такой объект, который состоит из этих самых т элементов. Количество Р т таких объектов-перестановок, которые отличаются друг от друга только местом расположения своих частей, рассчитывается по формуле:
Рт = т !, (3.10)
где т! = 1-2-3 -...- т - факториал числа т (однако 0! = 1). Например, для трех объектов а, Ь, с (т = 3) количество перестановок равно 3! = 1-2-3 = 6, а именно такие перестановки:
а Ь с; а с Ь; Ь а с; Ь с а; с а Ь; с Ь а. Размещением п элементов по т называют такой объект, который состоит из т элементов, выбранных из п элементов. Причем размещения из одинаковых элементов, но с разным местам их расположения, считаются разными. Количество объектов-размещений А п т рассчитывается по формуле:
п
А т п = п (п - 1) (п - 2) ... (п - т + 1) или А т = - - :. (3.11)
п (п - т)! '
Например, для трех объектов а, Ь, с (п = 3) количество размещений по два объекта (т = 2) будет равняться А 3 2 = 3 o 2 = 6, а именно такие размещения: а Ь; Ь а; а с; с а; Ь с; с Ь.
Комбинацией п элементов по т называют такой объект, который состоит из т элементов, выбранных из п элементов. Однако объекты-комбинации отличаются между собой хотя бы одним элементом. Количество таких объектов с п т рассчитывается по формуле:
В = ~ Г <- ^ аб ° С п ~ -и-. (3.12)
т! (п - т)! т!
Например, для трех объектов а, Ь, с (п = 3) количество комбинаций по два объекта (т = 2) будет равен:
С 3 ~ 2! (3 - 2)! ~ 1 o 2 o 1 ~ 3, а СаМ £: ° ° '° °' ° °. Следовательно, значение с п т (количество комбинаций из п элементов по т) меньше А п т (количество размещений с п элементов по т) в Р т раз, то есть между понятиями комбинаторики существует соотношение:
С п = Р г o (из-з)
Пример 3.8. Какова вероятность того, что в испытании со случайным вытягиванием шести карточек-букв "Е", "П", "Р" и т.д. можно составить наугад слово "ПРОЦЕСС"?
Решение: Испытание заключается в вытягивании в случайном порядке карточек с буквами без возврата. Событие А получения слова "ПРОЦЕСС" является элементарной событием среди перестановок с 6 букв. Количество перестановок для п = 6 определяется как Р т:
Р т = п! = 6! = 1-2-3-4-5-6 = 720.
Отсюда вероятность желаемой события являются Р (А) = ~ 0,0014 "0,14%.
Ответ: вероятность составить наугад слово "ПРОЦЕСС" из шести соответствие карт-букв равна 0,14%.
Пример 3.9. Какова вероятность составить наугад слово "МАТЕМАТИКА" из десяти отдельных карточек-букв?
Решение: Событие А получения слова "МАТЕМАТИКА" является элементарной событием перестановок из 10 букв, количество которых определяется как п! = 10! = 3628800. Однако некоторые буквы повторяются ("М" - 2 раза, "А" - 3 раза, "Т" - 2 раза), поэтому существуют перестановки, которые не изменяют слова.
Для буквы "М" количество перестановок, которые не изменяют слова будет 2! = 1 -2 = 2; для буквы "А" - 3! = 1 -23 = 6; для буквы "Т" - 2! = Г2 = 2. Общее количество перестановок, которые не изменяют слова будет т = 2! -3! -2! = 1-2-1-2-3-1-2 = 24.
Отсюда вероятность желаемой события являются Р (А) = - "0,0000066" 0,0007%.
3628800
Ответ: вероятность составить наугад слово МАТЕМАТИКА составляет около 0,0007%.
Пример 3.10. Зачётное задача содержит 5 вопросов, на каждый из которых предлагаются две альтернативные ответы "ДА" и "НЕТ". Правильный ответ на один вопрос оценивается в 1 балл, неправильная - в 0 баллов. Какова вероятность, отвечая наугад, сдать зачет, то есть получить не менее 4-х баллов?
Решение: Событие А сдачи зачета - это получение 4-х или 5-ти баллов из 5-ти возможных. Вероятность этого события Р (А) = Р (4) + Р (5). Зачетное испытание содержит пять элементарных испытаний. Если отвечать наугад, то вероятности каждой желаемой р (1) и каждой нежелательной г. (0) элементарного события одинаковы и равны по 4, то есть р (1) = р (0) = 4 = 0,5.
Отсюда вероятности получения:
4 балла - Р {4) = р {1УР {1УР {1УР {первый Р {0уС5 4 = 0,5 5 -5 = 5/32 = 0,15625 = 15,625%;
5 баллов - Р {5) = р {1УР {1УР {1УР {1УР {1уС 5 5 = 0,5 5 п 1 = 1/32 = 0,03125 = 3,125%.
Общая вероятность сдачи зачета Р (А) = 15,625% + 3,125% = 18,75%.
Ответ: Согласно условиям вероятность сдать зачет, отвечая наугад на 5 вопросов задачи, равна 18,75% (однако, вероятность не сдать зачет равна 1 - 18,75% = 81,25%).
Вопрос. Задача.
1. Раскройте определение понятий "испытание", "элементарное событие", "пространство элементарных событий", "полная группа событий", "случайное событие".
2. Какие события называют невозможными и достоверными, независимыми и зависимыми?
3. Какие события называют совместимыми и несовместимыми?
4. Назовите и охарактеризуйте основные типы операций над событиями (следование, эквивалентность, дополнения, произведение, сумма).
5. Что такое "вероятность события" и как определяется классическая вероятность?
6. Какие значение имеют вероятности невозможных и достоверных событий?
7. Приведите формулу для расчета суммы и произведения вероятностей совместных и несовместимых событий.
8. По каким формулам рассчитывают такие элементы комбинаторики, как перестановка, размещение и комбинация?
9. Сформулируйте определение вероятности в рамках аксиоматического подхода.
10. Охарактеризуйте трех аксиомы Колмогорова.
11. Что такое "условная вероятность"?
12. Приведите формулу полной вероятности.
13. Приведите и объясните формулу Байеса.
14. Повторите математические процедуры задач за примерами 3.1 - 3.9.
