Закон больших чисел
Повторные испытания
Явления и процессы, изучает психология, - это, как правило, сложные события. Поэтому формирование теоретической базы описания таких событий удобно рассматривать на примере повторных испытаний. Тестирование и экзамены студентов можно считать при некоторых условиях примером таких испытаний.
С классического определения вероятность - это число, к которому приближается частота появлень желаемой события при увеличении независимо выполненных испытаний. К тому же и вероятность, и частота выражаются в долях едини-
16 {Иногда пишут "законы больших чисел", имея в виду основные теоремы (Бе-рнулли, Чебышева, центральной предельной теоремы и др.).}
7. Охарактеризуйте распределение, функция которого ее (х <100) = | / (х) сих = 0,50.
8. Какая интерпретация площади под графиком плотности распределения переменной?
9. Какова вероятность определяется распределением и плотностью распределения?
10. Как определить вероятность по Процентиль нормального распределения?
11. Что такое математическое ожидание случайной величины?
12. Объясните свойства математического ожидания случайной величины.
13. Сформулируйте определение моды и медианы случайной величины.
14. Сформулируйте определение дисперсии случайной величины.
15. Охарактеризуйте свойства дисперсии случайной величины.
16. Какие показатели называют начальным и центральным моментом к-то порядка случайной величины?
17. Чем отличаются формулы начального и центрального моментов случайной величины?
18. Повторите математические процедуры задач за примерами 3.11 - 3.15.
эти, их численные значения размещены между нулем и единицей, хотя, как известно, частота случайной величины и ее вероятность не совпадают в идеале.
Вероятность, которую можно указать к испытаниям, называют априорной. Например, при подбрасывании монеты заранее известно, что она может упасть вверх "гербом" или "цифрой". Здесь возможны только два события, вероятности которых (если монета идеальная) одинаковы: / "(" герб ") = /" ("цифра") = 54 = 0,5.
Другая ситуация может иметь место при испытаниях, например, влияния новых педагогических технологий или психологических методик на отдельных лиц (школьников, студентов и т.д.) или на весь коллектив. Результаты таких испытаний предсказать заранее невозможно. Статистическая вероятность осуществления таких событий может быть установлена только на основании опыта, то есть апостериори.
Для практики применения математического аппарата теории вероятностей важное значение имеет ответ на вопрос о том, совпадают ли априорные (теоретические) вероятности статистическим (эмпирическими) вероятностями, представленными в виде частот? И если да, то при каких условиях?
Давая принципиально положительный ответ на этот вопрос, многочисленные опыты и
т
наблюдения показали, что частоты случайных событий типа - наближа-
п
ются к их вероятностей г. по мере увеличения числа испытаний и. Например, если одну и ту же монету подбрасывать большое количество раз, то в каком числе испытаний выпадет "герб", а в других выпадет «цифра». Примечательно то, что чем больше осуществлено испытаний, тем эмпирическая частота события становится ближе к ее теоретической вероятности (для идеальной монеты /> = 0,5).
Существуют и прямые экспериментальные подтверждения того, что частота совершения некоторых событий близка к вероятности, определенной из теоретических соображений, например, результаты испытаний с подбрасыванием монеты (табл. 3.6).
С табл. 3.6 видно, что при увеличении числа испытаний п отклонения время т
тоты события от ее вероятности - р уменьшается. В этом факте есть проявление действия
п
так называемого закона больших чисел: выборочные характеристики при росте числа опытов приближаются к теоретическим, а это дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по данным опытов.
Таблица 3.6
Результаты испытаний
Закон больших чисел носит объективный характер и имеет соответствующую эмпирическую базу. Выводы закона подтверждают, например, опыты Кетле: в урну помещали 20 белых и 20 черных шаров, затем извлекали из нее наугад один шар, регистрировали ее цвет и возвращали шар обратно. Каждое испытание повторяли много раз. Вероятность появления белой или черной шара оставалась при этом постоянной, равной 1/2 (см. Табл. 3.7).
Таблица 3.7
Результаты опытов Кетле
С табл. 3.7 видно, как с увеличением числа испытаний соотношение белого и черного шаров приближается к единице.
т
Закон больших чисел утверждает, что частота - события А будет сколько по п
угодно близкой к ее вероятности р, если число испытаний п неограниченно растет. Можно взять сколько угодно малое число является и сравнивать его с разницей между относительной частотой и вероятностью события. Вероятность того, что эта разница превысит число есть, стремиться к нулю при стремлении числа испытаний п до бесконечности:
Итак, частота события и ее вероятность не совпадают, однако разница между ними уменьшается при увеличении числа испытаний. Это значит, что статистические закономерности проявляются только в многократных повторных испытаниях и количество таких испытаний п должна быть значительной.
