Теорема Бернулли
Теорема Бернулли утверждает: если т - количество событий А в п попарно независимых испытаниях, а р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний, то при любом является> 0 справедливо неравенство
Эта формула является первым в истории вариантом закона больших чисел и по сути считается началом теории вероятностей как области математической науки. С тех пор теории выборочного метода становятся основой математической статистики.
Теорема Бернулли дает возможность оценить количество независимых испытаний п при определенных условиях их проведения.
Пример 3.16. Вероятность того, что наугад выбранный студент сдаст зачет, равна 90%. Сколько надо проверить студентов, чтобы с вероятностью 80% выявить успешно подготовленных студентов. Погрешность при этом не должна превышать 10%.
Решение:
Определим соответствующие теоремы Бернулли обозначения:
г. = 0,90 - вероятность того, что наугад выбранный студент сдаст зачет;
есть = 0,10 - погрешность процедуры проверки студентов;
ре OL - p> o, 101 = 0,80 - вероятность обнаружения подготовленных студентов.
И п J
Значение вероятности не превышая погрешность в 10% процедуры проверки студентов составляет
г. | L - p <0, ю | = 1 - 0,80 = 0,20.
При этом должно выполняться неравенство правой части выражения (3.40)
p ^ <0,20.
пьет
Отсюда количество студентов, которых надо проверить, определится как
p (1 - p) 0,90 o (1 - 0,90) 0,90 o 0,10 0,20 есть 1 0,20 o (0,10) 2 0,20 o 0,01
Ответ: для того, чтобы с вероятностью 80% выявить успешно подготовленных студентов с погрешностью не выше 10%, надо проверить более 45 человек.
Одним из принципиальных вопросов математической статистики является характер соотношения параметра есть и количества независимых испытаниях п. Ответ на этот вопрос также дает закон больших чисел.
Пример 3.17. Для условий примера 3.16 оценить соотношение количества независимых испытаний п и параметра является для трех значений есть (0,1; 0,05; 0,01).
Решение:
Результаты и формулы расчета п согласно теореме Бернулли (3.40) для различных значений является представлены в табличной форме на рис. 3.29.
Как видно из рис. 3.29 (см. Колонки D и E), при уменьшении параметра е количество необходимых независимых испытаний п растет пропорционально есть 2.
Рис. 3.29. Результаты и формулы расчета n для разных есть
Ответ: чем жестче условия являются по уменьшению разницы между эмпирической частотой события и его теоретической вероятностью, тем большего количества испытаний требуют такие опыты.
Теорема Чебышева
Теорема Чебышева гласит: если случайные величины Х, Х 2, X n попарно независимы и существует число C такое, что D [Xi <C для всех / '= 1, 2, n, то для любого является> 0 справедливо неравенство
Г x и + x 2 + ... + X n _ м [x и + м [x 2 + ... + м [X n1 С_ (341)
[Nn J ne 1
Неравенство (3.41) можно представить иначе
lim p {- ± X, - - ± M [X, <есть} = 1. (3.42)
Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных 1 n
величин - X X и отличается от среднего арифметического математических 1 n
надежд - X M [X и менее чем на есть, приближается к 1 при росте числа
n ¿= 1
случайных величин, для любого есть.
Теорема Чебышева является развитием и обобщением теоремы Бернулли Для практических целей чаще всего используется такой вариант испытаний, когда все X имеют одинаковые показатели математического ожидания МХИ = М и дисперсии DPA ^ D. Тогда в качестве оценки математического ожидания используется выборочное среднее арифметическое
Формула (3.44) означает, что выборочное среднее x при увеличении числа испытаний (исследований, наблюдений, измерений) как угодно близко по вероятности приближается к своему математического ожидания М [X]:
x М [X]. (3.45)
Итак, выражение (3.45) является доказательством того, что выборочное среднее x является состоятельной оценкой своего аналога из генеральной совокупности. На этом важном выводу построено статистическое оценивание (см. Раздел 4).
Пример 3.18. Оценить вероятность того, что среднее случайной величины отклонится от своего математического ожидания на значение не более чем на три стандартных отклонения.
Решение:
Определим соответствующие теоремы Чебышева обозначения: x и М [x] - среднее арифметическое величины x и математическое ожидание среднего арифметического случайной величины x;
Ж> [x] и В [x] - стандартное отклонение и дисперсия среднего арифметического случайной величины x;
есть = 3 o SD [X] - критерий отклонения разницы х - М [X] |;
г. х - М [X] | <является} - вероятность события, которое надо оценить из условий задачи.
По теореме Чебышева имеем рх - М [X] |> г | <^ Х.
С учетом выражения SD [X] = и значение является = 3 o SD [X] права час-
тина равно
D [X] D [X] D [X] 1 I--и) 1
- 1 - = -, - == - = -, - = _- = -, то есть РХ - M [X |> является <-
есть 2 (3 o SD [X]) 2 9 o D [X] 9 * 1 '9
Из теоремы Чебышева можно записать
г. х - <г?) = 1 - р х - M [X]> есть) <-9.
Тогда вероятность события, которое надо оценить, определится через неравенство р х - <г}> 1 - -9 = 8 * 0,89 17.
Ответ: вероятность того, что среднее случайной величины отклонится от своего математического ожидания на значение не более чем в три стандартных отклонения, составляет примерно 0,89 или около 89%.
Из теорем Бернулли и Чебышева как из конкретных форм закона больших чисел следует тот факт, что выборочные характеристики при росте числа испытаний приближаются к теоретическим, что дает возможность оценивать параметры вероятностных моделей по эмпирическим данным.
