Центральная предельная теорема
Рассмотрим два варианта центральной предельной теоремы.
1. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых -теорема Линдеберга-Леви.
Для независимых одинаково распределенных случайных величин X 1, X2, X ,, с математическими ожиданиями НРУ;] = Ц и дисперсии D [X 1] = а 2 (и = 1, 2,
17 Определена оценка иногда является заниженной, например, для нормального распределения она составляет около 0,997 (по так называемым закон трех сигм, см. Раздел 3.4).
U = X 1 + X 2 + ... + X n-M [X 1- M [X 2 -...- M [X n n, / D [X 1 + D [X, + ... + D [Xn '
С учетом выражений (3.46) и (3.47) случайная величина U n выглядеть как
U n = X 1 + X 2 +> + X n ~ N ". (3.48)
cw n
Для величины U n математическое ожидание M [U n = 0, дисперсия D [U n = 1 Тогда при n- * "для любого числа х существует предел
lim Р И X 1 + X 2 +> + X n ~ <X) = Ф (x), (3.49)
где Ф (х) - функция стандартного нормального распределения
x
ф (x) = cp (t) dt, (3.50)
где <^ (t) - плотность стандартного нормального распределения
1 -
cp (t) = - = e 2. (3.51)
V27t
n _
Если учитывать, что X 1 + X 2 + ... + X n = ^ X и = nX, то переменную U n воз
¿= 1
nX - nu X - Эти-
на записать как U n = -т = - = -Vn (3.52)
cw n er
и граница (3.48) принимает более знакомую форма записи
(X -и Л
lim Р - ^ л / П <x = N (0,1), (3.53)
V и)
где N (0,1) - нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице.
В некоторых задачах не всегда выполняется условие существования одинаково распределенных слагаемых. Сущность этих условий заключается в том, что ни один из слагаемых не должен быть доминирующим, вклад каждого слагаемого в среднее арифметическое должно быть очень малым по сравнению со всей суммой.
2. Центральная предельная теорема для неодинаково распределенных слагаемых - теорема Ляпунова.
Для независимых неодинаково распределенных случайных величин Х 1, Х 2, Х п с математическими ожиданиями ЩХЦ = / ч, - и дисперсии £> [Хи] = а, 2 Ф0 (i = 1, 2, п) случайная величины и п будет выглядеть
пунов переходит в теорему Линдеберга-Леви (3.49).
Смысл центральной предельной теоремы таков: если объем выборки п "достаточно большим", то независимо от формы распределения параметра / ч генеральной совокупности выборочное среднее X имеет распределение, близкое к нормальному. Следовательно, оценку генерального среднего / ч за его выборочным значением X можно выполнять на основе нормального распределения. Схема исследования может быть такой:
o выбираем случайным методом п объектов х 1, х 2, х п из генеральной совокупности (для практических целей п должно быть не менее 30, то есть п> 30);
- 1 п
o рассчитываем выборочное среднее X = - ^ X и;
п, = 1 '
o выполняем статистическое оценивание и формулируем выводы на основе нормального распределения (см., например, раздел 5.4).
Центральная предельная теорема - это класс теорем теории вероятностей, утверждают, что сумма большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному.
Очень важно то, как действуют те причины, из которых состоит совокупный результат измерений или наблюдений: если действуют аддитивно (т.е. путем сложения), то величина x имеет примерно нормальное распределение; если му-типликативно (то есть действия отдельных причин перемножаются), то распределение x является близким не к нормальной, а к так называемому логарифмически нормального, то есть не x, а имеет примерно нормальное распределение. Если же нет оснований утверждать, что действует один из этих двух механизмов формирования итогового результата, то о распределении случайной величины x ничего определенного сказать нельзя.
Вопрос. Задача.
1. Какие Вы знаете прямые экспериментальные подтверждения того, что частота совершения некоторых событий близка к вероятности.
2. В чем есть проявление действия так называемого закона больших чисел?
3. Прокомментируйте результаты опытов Кетле.
4. Сформулируйте и объясните теорему Бернулли.
5. Сформулируйте и объясните теорему Чебышева. Чем она отличается от теоремы Бернулли?
6. Сформулируйте и объясните центральную предельную теорему для одинаково распределенных слагаемых (теорему Линдеберга-Леви).
7. Сформулируйте и объясните теорему Ляпунова.
8. Повторите математические процедуры задач за примерами 3.16 - 3.18.
