Точечное оценивание. Свойства статистических оценок
Точечное оценивание применяют для приблизительной оценки параметров генеральной совокупности по статистиками выборки. Наблюдении выборочные показатели являются статистическими оценками параметров генеральной совокупности с определенной точностью (или с определенными статистическими погрешностями). К тому же статистические оценки являются случайными величинами, которым присущ неконтро-Леванте разброс даже если выборки взяты из той же генеральной совокупности.
При оценке желательно, чтобы потеря информации, которая может быть существенной для принятия статистических решений, была минимальной. Итак, для того, чтобы оценки были надежными, они должны отвечать некоторым требованиям, то есть обладать определенными свойствами.
Основными свойствами статистических оценок является способность, незми-щеннисть, эффективность:
o Способность. Статистическая оценка ® n способна тогда, когда при постоянном увеличении объема выборки (n - "со) она приближается к значению параметра ©, который оценивает. Статистика ©" является состоятельной оценкой параметpa 0, когда для любого положительного числа есть есть справедливым соотношение
lim P {© n -0> е = 0. (4.2)
Например, выборочное среднее X является состоятельной оценкой генерального среднего fi, поскольку при увеличении числа испытаний X приближается к своему математического ожидания (см. Выражение (3.45)). Состоятельной оценкой считается и выборочная дисперсия.
Требование способности означает, что оценка должна нести практический смысл, приближать нас к истине и не быть абсурдной. С другой стороны, в большинстве ситуаций можно предложить несколько способных оценок для одного и того же параметра. Таким образом, свойство способности необходимое, но недостаточное требование. ее необходимо дополнить другими требованиями.
o Незмищеннисть. Статистика считается несмещенной, если ее математическое ожидание равно параметру, оценивается. Выборочное среднее X является несмещенной оценке генерального среднего fi, поскольку м [X] = ц, чего нельзя сказать, например, о выборочных показатели дисперсии. Для математического ожидания можно записать
1 г 2 1 февраля (л 1 1 2 2
- Пег - п-= <7 11--1 = -СГ = ег--.
п п п) п п
Итак, математическое ожидание выборочной дисперсии равна
^ Г 2 п п - +1 2 2 а 2
ЩЖ] = -о = о -. (4.4)
пп
Как видно, оценка с 2 параметра а 2 является смещенной. Отрицательное смещение равно а 2 / п, зависит от объема выборки п и в ситуации способности достигает нуля, если п-> есть ". Требование незмищенности особенно чувствительна для малого количества наблюдений. Этот недостаток оценки с 2 устраняется переходом к незмищеннои оценки
* 2 = - 3 2. (4.5)
п - 1
o Эффективность. Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую степень дисперсии выборочного распределения по сравнению с аналогичными оценками, то есть проявляет наименьшую случайную вариативность. Например, среди трех показателей положение центра нормального распределения (среднего Х, медианы ю и моды Мо) наиболее эффективной оценкой считается Х и наименее эффективной - Может, так как для их дисперсий характерных
2 2 февраля
им является соотношение 3 х <3 мА <$ мо [43, С. 100].
Для статистического оценивания параметров генеральной совокупности желательно использовать оценки, которые удовлетворяют одновременно требования способности, незмищенности и эффективности. Кроме того, важно знать, по каким методами происходит выбор и построение той или иной модели статистического оценивания.
Методы статистического оценивания параметров
Методы статистического оценивания раскрывают математические процедуры, с помощью которых строятся различные модели "лучшего" оценивания параметров по результатам тех или иных статистик. В прикладной статистике разработано много видов оценок 19, среди которых чаще всего используются ме
19 См., Например, Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. - М., 2 006
[37].
тоды моментов, максимального правдоподобия, наименьших квадратов, которые стали уже "классическими", а также методы "цензуры", "урезание", использование порядковых статистик и др.
