Критерий Крамера-Уэлча T
Критерий Крамера-Уэлча Т построен на подходе оценивания равенства математических ожиданий генеральных совокупностей, откуда взято выборки. Статистика критерия имеет вид:
-у / п 1 п 2 (х 1 "х 2)
= И 2 2, (5.11)
^ 1 + п два +5 два
где неизвестные дисперсии заменены их выборочными оценками. Более того, при росте объемов выборок распределение статистики Т Крамера-Уэлча сходится к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1,00. С асимптотической нормальности статистики Т правило принятия решения для критерия Крамера-Уэлча выглядит так: если Т ем "<г (первый / 2), то гипотеза однородности (равенства математических ожиданий) принимается на уровне значимости а. В прикладной статистике наиболее часто применяется уровень значимости 0,05. Тогда значение модуля статистики Т Крамера-Уэлча надо сравнивать с критическим значением г кр = 1,96.
Пример 5.6. Сделать статистические выводы на уровне значимости 0,05 по однородности двух выборок по критерию Крамера-Уэлча (эмпирические данные взяты из предыдущего примера 5.5).
Последовательность решения:
o Расчеты эмпирического критерия показано на рис. 5.16 и 5.17. Эмпирическое значение критерия Т ем "можно оценить из элементарных расчетов:
Т _ V 18 o 20 (4,72 - 3,90) ^ 1 семьдесят семь 718 -1,98 + 20 o 2,09 ~ '.
o Критическое значение Т кр для уровня значимости 0,05 получим с помощью функции = НОРМСТОБР (1-0,05 / 2), которая возвращает значение 1,96.
o Принятие решения. Поскольку Т ЭМП <г 0о05 (1,77 <1,96), нулевая гипотеза Н 0 принимается на уровне значимости 0,05.
o Формулировка выводов. На уровне значимости 0,05 отсутствуют основания утверждать о неоднородности независимых выборок.
Среди психолого-педагогических задач нередко интерес составляет не проверка равенства математических ожиданий или иных параметров распределения, а выявление любых различий генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки. Но методы, основанные на использовании статистик Стьюдента и и Крамера-Уэлча Т, не позволяют проверять гипотезу Н 0 по различий совокупностей. Поэтому следует использовать непараметрические методы (например, Колмогорова-Смирнова, Вилкоксона-Манна-Уитни, Лемана-Розенблатта и др.), Для которых не являются обязательными предположение принадлежности распределения результатов наблюдений определенном параметрическом семейству.
Критерий Колмогорова-Смирнова λ
Критерий Колмогорова-Смирнова x предназначен для сопоставления двух эмпирических распределений F 1 (x) i F 2 (x) между собой. Статистика критерия имеет вид:
а = max | F 1 (x) - F 2 (x), (5.12)
где F 1 (x) i F 2 (x) - эмпирические функции распределения выборок и 1 и и 2.
Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных разногласий между двумя делениями F 1 (x) i F 2 (x) является крупнейшей (максимальной), и оценить достоверность этого расхождения. Для ^ -критерия сопоставляют накопленные (интегральные) частоты. Нулевая гипотеза H 0 свидетельствует о том, что различия между двумя делениями недостоверны.
Пример 5.7. Сделать статистические выводы на уровне значимости 0,05 по однородности двух выборок по критерию Колмогорова-Смирнова (эмпирические данные взяты на примере 5.5).
Последовательность решения:
o Формулировка гипотез:
H 0: различия между двумя делениями недостоверные (судя с точки максимальной накопленной разногласия между ними);
H]: различия между двумя делениями достоверны (судя с точки максимальной накопленной разногласия между ними).
o Расчеты эмпирического критерия Колмогорова-Смирнова x ЭМП показано на рис. 5.18. В колонке J рассчитан абсолютные разницы накопленных эмпирических частот | F 1 - F 2 |, максимальное значение которых составит эмпирический ^ -критерий Колмогорова-Смирнова:
^ ЭМП = max | F1 - F2 | = 0,178. Расчетные формулы для определения x ЭМП приведены на рис. 5.19.
Рис. 5.18. Расчеты эмпирического критерия X
o Критические значения ^ -критерия для уровня значимости 0,05 и п = 20 опреде-
ются по табл. 3 приложений! 0 _ 05 ~ 0,294.
Рис. 5.19. Расчетные формулы для определения X ЭМП
o Принятие решения. Поскольку эмпирическое значение критерия ^ е ^ "~ 0,178 меньше критического значению Х 0 05 ~ 0,294, гипотеза Н 0 принимается на уровне значимости 0,05.
o Формулировка выводов. На уровне значимости 0,05 отсутствуют основания утверждать о неоднородности независимых выборок.
