Критерий Вилкоксона-Манна-Уитни U
Статистика критерия Вилкоксона-Манна-Уитни 25 и определяется следующим образом. Все Х-элементы первой и 7-элементы второй выборки объединяются. Объединенная выборка х 1, х 2, х п1, в 1, в 2, в п2 (п 1 и п 2 - объемы выборок) упорядочиваются по возрастанию. Элементы первой выборки х 1, х 2, х п1 занимают в общем вариационном ряду места с номерами Я 1, Л 2, Л п1, иначе говоря, имеют ранги Л 1, Л 2, Л п1. Тогда сумма рангов элементов первой выборки является статистике Вилкоксона Т х:
Т х = Л1 + ^ 2 + ... + Лп1. (5.13)
Статистика Манна-Уитни и определяется формулой
п ■ (п + 1)
и = (п1 o + х К 2 х '- ТХ. (5.14)
Поскольку Т х и и линейно связаны, то часто речь идет не о двух критериях - Вилкоксона и Манна-Уитни, а об одном - критерий Вилкоксона-Манна-Уитни 26. Метод Манна-Уитни определяет зону значений между двумя многочисленными рядами, которые пересекаются. Чем меньше эмпирическое значение критерия и ем ", тем более вероятно, что различия достоверны. Когда объемы обеих выборок безгранично растут, распределения статистик Вилкоксона и Манна-Уитни является асимптотически нормальными.
Пример 5.8. По помощью и-критерия проверить предположение о однородности выборок (различия между показателями групп) по эмпирическим данным примера 5.5).
Последовательность решения:
o Формулировка гипотез:
Н 0: различия в показателях признаки не являются статистически значимые;
Hf: различия в показателях признаки статистически значимы.
Рис. 5.20. Присвоение имени "Виб1" диапазона данных $ В $ 3: $ В $ 20
o Расчеты эмпирического критерия (рис. 5.20 и 5.21):
- Присвоить имя "Виб1" и "Виб2" двум выборкам. Для этого выполнить команды главного меню MS Excel [Вставка -> Имя -> Присвоить ...]. В диалоговом окне (рис. 5.20) внести имя "Виб1" (имя записать без пробелов), а также диапазон ячеек данных ($ В $ 3: $ В $ 20 - адрес абсолютная). Присвоить имя "Виб2" диапазону данных С3: С22 по аналогичным действиями;
- Выполнить ранжирования значений выборок, рассматривая их как одну объединенную группу, приписывая меньшему значению ниже ранг (общее количество рангов п 1 + n 2). Для этого внести в столбики "Ранг 1" и "Ранг 2" соответствующее выражение, который, например, для ячейки D3 будет выглядеть как:
= (СЧЕТ (Виб1: Виб2) + 1 - РАНГ (В3; Виб1: Виб2, 1) -РАНГ (В3; Виб1: Виб2; 0)) / 2 + РАНГ (В3; Виб1: Виб2, 1);
Рис. 5.21. Результаты расчетов критерия и ЭМП
- Скопировать выражение в другие ячейки столбиков Б и Е;
- Рассчитать объем выборок п 1 и п 2. Для этого в ячейку В24 внести выражение = СЧЕТ (Виб1), а в ячейку В25 - выражение = СЧЕТ (Виб2)
- Рассчитать суммы рангов Т 1 и Т 2 для двух выборок. В ячейку В26 внести выражение = СУММ (03: 020), в ячейку В27 - выражение = СУММ (Е3: Е22)
- Определить объем п х выборки с большей суммой рангов. В ячейку В28 внести выражение = ЕСЛРИ (В26> В27; В24; В25)
- Определить Т х - наибольшее из двух (Т 1 и Т 2) ранговых сумм. В ячейку В24 внести выражение = ЕСЛИ (В26> В27; В26; В27)
- Определить эмпирическое значение V-критерия по формуле: и ЭМП = (п ■ п г) + П х '(п х + 1) - ТХ, (5.15)
где п} и п 2 - объемы выборок; п х - объем выборки с большей суммой рангов; Т х - крупнейшая из двух ранговых сумм. Для этого в ячейку В25 внести выражение = (В24 * В25) + В28 * (В28 + 1) / 2-В29. ^ "= 128.00 (см. Рис. 5.21).
o Определение критического значения и критерия. По табл. 4 приложений для п} = 18 и п 2 = 20, а также а = 0,05 критическое значение в 005 = 123.
o Принятие решения. Поскольку и ем "> и 0и05 (128> 123), нулевая гипотеза Н 0 принимается на уровне 0,05. Примечание: для и-критерия Н 0 принимается при и ЭМП> и кр.
o Формулировка выводов. На уровне значимости 0,05 можно утверждать, что различия в показателях признаки не являются статистически значимы.
Критерий Вилкоксона-Манна-Уитни пригоден для статистического анализа данных, измеренных по порядковой шкале. Однако в варианте общей альтернативы критерий не всегда позволяет выявить различия функций распределения. Для этого варианта проверки однородности выборок целесообразно применять критерий Лемана-Розенблатта со 2.
