Критерий Лемана-Розенблатта w ² _{n, m}

Непараметрический критерий Лемана-Розенблатта типа омега-квадрат применяется для проверки однородности двух независимых выборок. Как и по методу Вилкоксона-Манна-Уитни, элементы первой и второй выборки, взято по неизвестным распределений .Р _п (х) и Есть _т (х), объединяются. Для объединенной упорядоченной по возрастанию выборки х _1, х _2, х _п, в _1, в _{2, в т} определяются ранги

^R x1, ^R x2, ^ хп, Р-уь ^R y2, ^ ^уш.

Выдвигается нулевая гипотеза однородности Н _{0: Г п} (х) = Е _т (х) против альтернативной гипотезы Н} Б _п (х) Ф Е _т (х).

Статистика критерия Лемана-Розенблатта определяется формулой

где г _п (х) и В _т (х) - эмпирические функции распределения выборок объемами п и т, "п ~ т"

^Н ...... ^(х) = -Р _'п ^(х) н - С _п ^(х) - эмпирическая функция объединенной выборки.

п + т п + т

Значение статистики зависит только от рангов элементов выборки:

где Л _и - ранг х (и), восьмое - ранг в _{0) в объединенной вариационной выборке.} Критерий одностороннюю (правую) критическую область. При попадании на- пт ₂

ния статистики _п ^ _т ^а п, т в полуинтервал (семь _{первых, да}, гипотеза Н 0} отклоняется. Значение некоторых основных квантилей приведены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Для незначительных по объему выборок (п, т> 7) используется нормированная статистика

Пример 5.9. По помощью критерия Лемана-Розенблатта проверить гипотезу о однородности выборок (по данным примера 5.5). Последовательность решения:

o Формулировка гипотез:

Н _0: различия в выборочных показателях не является статистически значимые; Н _1: различия в выборочных показателях статистически значимы.

o Расчеты эмпирического критерия (рис. 5.22 5.23):

- Присвоить имя "Виб1" и "Виб2" двум выборкам (см. Расчеты V- критерия);

Рис. 5.22. Результаты расчетов критерия ю ²

- В столбцах бы и есть получить рангах значений выборок, рассматривая их как одну объединенную группу, приписывая меньшему значению ниже ранг (общее количество рангов п + т). Для этого внести в столбики Л _и и 5 соответствующее выражение, который, например, для ячейки б3 выглядеть как:

= (СЧЕТ (Виб1: Виб2) + 1 - РАНГ (в3; Виб1: Виб2, 1) -

- РАНГ (в3; Виб1: Виб2; 0)) / 2 + РАНГ (в3; Виб1: Виб2, 1);

- Скопировать выражение в другие ячейки столбиков бы и есть, получить ранги;

Рис. 5.23. Расчетные формулы критерия ю ²

- Скопировать с помощью команд главного меню MS Excel [Правка -> Специальная вставка ...] значения рангов в ячейки колонок F и G, упорядочить рангах по возрастанию;

- В ячейках Н2: И22 рассчитать квадраты разниц (R- и) ² и (S-jj ^2;

- В ячейках Н23 и 123 рассчитать суммы квадратов разностей £ (R- и) ² и

Z (Sj-j) ² 0;

- Рассчитать объемы выборок n и m, критерий ю ² (5.17), параметры M, D и Z (5.18), а также значение эмпирической нормированной статистики Z ~ 0,22.

o Определить критическое значение Z _1-a по табл. 5.2 для a = 0,05. Квантиль Z0,95 = 0,46.

o Принятие решения. Поскольку Z <Z _0,95 (0,22 <0,46), нулевая гипотеза Н ₀ принимается на уровне 0,05, то есть можно утверждать, что различия в показателях исследуемого признака не является статистически значимы.

На основе сравнительного анализа критериев можно сделать следующие выводы.

1) Область применений метода проверки однородности с помощью критерия Стьюдента ограничено. Он позволяет проверять гипотезу о равенстве математических ожиданий, но не гипотезу о том, что обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. Классические условия применимости критерия Стьюдента в подавляющем большинстве психолого-педагогических и других задач не выполняются. При значительных и примерно равных объемах выборок его можно применять. При конечных объемах выборок традиционный метод носит весьма приближенный характер.

2) Применение критерия Крамера-Уэлча Не менее обоснованно, чем применение критерия Стьюдента. Дополнительное преимущество - не нужно контролировать требования равенства дисперсий. Поэтому представляется целесообразным заменить использование критерия Стьюдента на критерий Крамера-Уэлча.

3) При сопоставлении двух эмпирических распределений по критерию Колмогоро-ва-Смирнова необходимо, чтобы объемы выборок были п _1? П _{2> 50, при сопоставлении эмпирического распределения с теоретическим допускается при п> 5.} Разряды должны быть упорядочены по возрастанию (убыванию) признаки.

4) Критерий Вилкоксона-Манна-Уитни является одним из самых распространенных непараметрических ранговых критериев, используется для проверки однородности двух выборок. Однако в варианте общей альтернативы критерий не состоятелен, поэтому рекомендуют применять способны критерии, в частности, критерий Лемана-Розенблатта типа омега-квадрат.

Итак, для проверки однородности функций распределения рекомендуют применять статистику Лемана-Розенблатта типа омега-квадрат. Для проверки однородности математических ожиданий целесообразно применять критерий Крамера-Уэлча. Статистика Стьюдента, Вилкоксона-Манна-Уитни и др. допустимо использовать только в отдельных случаях [49].

Вопрос. Задача.

1. Почему область применений метода проверки однородности с помощью критерия Стьюдента ограничена?

2. Когда целесообразно применять критерий Стьюдента и?

3. Обоснуйте целесообразным замену использования критерия Стьюдента на критерий Крамера-Уэлча.

4. Какие существуют ограничения при сопоставлении двух эмпирических распределений по критерию Колмогорова-Смирнова?

5. Проанализируйте критерии Вилкоксона-Манна-Уитни и Лемана-Розенблатта, которые используется для проверки однородности двух выборок

6. Повторите математические процедуры задач за примерами 5.5 5.9.

7. Выполните лабораторные работы № 11 и № 12.