Различия в значениях дисперсий (t-критерий Стьюдента для двух связанных выборок)

Для проверки гипотезы о дисперсий двух совокупностей, которые представлены зависимыми выборками используется критерий Стьюдента и, статистика которого имеет вид:

где s ₁ и 8 _две - дисперсии выборок; n - количество пар наблюдений; г ₁₂ - квадрат коэффициента парной корреляции.

Методика проверки гипотезы аналогична предыдущему примеру.

Пример 5.15. Выполнить проверку статистических гипотез относительно дисперсий п пар наблюдений (эмпирические данные в таблице рис 5.37).

Последовательность решения:

o Формулировка гипотез. Условиям проверки единообразия дисперсии п пар наблюдений соответствует вариант не направлены гипотез:

Н _{0: а} ⁺² ₁ = а ⁺² ₊₂ (а ⁺² ₁ не отличается от а ⁺² ₊₂₎ Н _{1: а} ⁺² ₁ Ф а ⁺² ₊₂ (а ⁺² ₁ отличается от а ⁺² _+2).

o Проверка предположений: исследуемый параметр нормальный распределение; выборки связаны; измерения проведены по шкале отношений.

o Выбор статистического критерия. Согласно предположениям этой ситуации соответствует модель двустороннего и критерия Стьюдента:

o Расчеты эмпирического критерия и соответствующие формулы показано на рис. 5.37 и 5.38. Дисперсии выборок s _одна ² ~ 1,60 и s ₂ ² ~ 0,78, но также значение квадрата коэффициента корреляции Пирсона r ² ₁₂ ~ 0,17 рассчитано с помощью функций MS Excel = ДИСП () и = КВПИРСОН (). Эмпирический критерий принимает следующие значения:

o Определение критического значения критерия. Для двусторонней модели устанавливаются два критические значения г _кр для точек (а / 2) и (первый / 2) и-распределения с числом степеней свободы а / = п-2 = 16-2 = 14 то есть: и _{а / 2} и и _{первый /} 2. С помощью функции = СТЬЮДРАСПОБР () для а = 0,05 получим и ₊₀₀₂₅ ~ 2,49 и и ^ ₉₇₅ ~ 0,03; для а = 0,01 и 0,005 ~ 3,29 и и 0,995 ~ 0,01 соответственно (рис. 5.37).

o Принятие решения. Поскольку значение и _ЭМП ~ 1,49 не находящееся в одной критической зоне (0,03 <1,49 <2,49), принимается нулевая гипотеза Н _0.

o Формулировка выводов. Даже на уровне значимости 0,05 нет оснований утверждать, что показатели дисперсий отличаются друг от друга.

Различия в значениях дисперсий 3-х и более совокупностей (критерий Кохрана q для выборок одинаковых объемов)

Для проверки гипотез о равенстве дисперсий 3-х и более совокупностей используется критерий Кохрана q.

Пример 5.16. Выполнить проверку статистических гипотез существенности различий дисперсий трех несвязанных выборок по эмпирическим данным рис. 5.39.

Последовательность решения:

o Формулировка гипотез:

H _0: а ² ₁ = а ² ₂ = а ² _три (дисперсии между собой не отличаются) H _1: а ² ₁ Ф а ² ₂ Ф а ^{2} (дисперсии между собой отличаются).}

o Проверка предположений: исследуемый параметр нормальный распределение; количество выборок больше двух; выборки несвязанные одинаковых объемов; измерения проведены по шкале интервалов.

o Выбор критерия. Ситуации соответствует статистика критерия Кохрана q:

_s ²

max __.

^{q =} 2?, (5.25)

где s ² _{одна, s} ² _{2, s} ² _m - дисперсии выборок; s ² _max - максимальная дисперсия; m -количество выборок.

o Результаты оценки эмпирического критерия q _eMn и дополнительных параметров показано на рис. 5.39. Значение дисперсий выборок s ² рассчитан с помощью функции = ДИСП () для получения эмпирического критерия q _eM "в ячейку В16 введено выражение = MAKC (B15: D15) / CyMM (B15: D15), что соответствует элементарным расчетам этого критерия:

1,56

_q = --- яв 0 44

1,09 +1,56 + 0,87 ''

o Критическое значение q критерия Кохрана можно получить с помощью табл. 5 приложений. На уровне значимости а = 0,05 для числа степеней свободы у 1 = п-1 = 11-1 = 10 и у 2 = т = 3 критическое значение д _{0 05} ~ 0,60.

o Принятие решения. Поскольку д _ем "<д _0и05 (0,44 <0,60) принимается нулевая гипотеза Н _0.

o Формулировка выводов. На уровне значимости 0,05 нет оснований утверждать, что показатели дисперсий отличаются друг от друга.

Одно из преимуществ метода проверки статистических гипотез по критерию Кох-рана д является простота вычислений. Недостатком считается то, что критерий проявляет признаки отклонения только в сторону увеличения.