Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Логика arrow Логика

Классическая символическая логика

Логика высказываний

Логические высказывания - суть тавтологии, которые показывают внутренние отношения, но сами не говорят ничего... Они - аналитические высказывания.

Л. Витгенштейн

Логика высказываний (ЛВ) - раздел символической логики, изучающий необходимые отношения между высказываниями, на основании чего определяют значения истинности высказываний; дедуктивная теория, которая моделирует процесс вывода одних высказываний из других по принципу логического следования. Это - исторически первая формально-логическая система, построенная средствами.

В рамках логики высказываний могут быть построены морфологические системы (формально-логические теории без дедуктивной части, то есть без аксиом и правил вывода) и логические исчисления (формально-логические теории, на синтаксическом уровне которых задаются системы их аксиом и строго определенная совокупность правил вывода). Большинство классических формально-логических теорий логики высказываний построено в форме логических исчислений. Первое исчисление высказываний получило название "классическое исчисление высказываний" (КЧВ) - формализация высказываний средствами особого языка и осуществления логических операций над ними с целью превращения простых высказываний в сложные и их превращение в новые сложные высказывания.

Классическая логика высказываний (КЛВ) является основой современной символической логики, на базе которой создаются новые формально-логические системы (логические исчисления). Идею логического исчисления впервые сформулировал немецкий философ, логик, математик Г. Ляйбніц. Исторически первую систему логики высказываний, или алгебра логики, создал английский логик Дж. Буль, в которой использовали алгебраические методы для решения определенных логических задач. Дальнейшее развитие логики высказываний осуществляли логики и математики - О. де Морган, Б. Шредер, Г. Фреге, Б. Рассел и др.

Логика высказываний как формально-логическая система строится по определенному алгоритму, то есть на основании определенных принципов и в определенной последовательности. Различают семантику и синтаксис логики высказываний.

Семантика определяет содержательный аспект неформальных отношений между высказываниями в терминах "высказывания", "свойство", "отношение".

Логическую свойство высказывания выражает термин "істиннісне значение высказывания", который определяют чисто формально, в процессе абстрагирования от конкретного содержания высказывания. В классической логике высказываний высказыванию придают два значения истинности: "истина"; "ложь" (#), соответственно эта формально-логическая система двусмысленная по значениям истинности.

Синтаксис определяет формальную структуру высказываний и его изображения средствами искусственно созданного языка, с помощью которой анализируется логическая структура высказываний и осуществляется построение исчисления высказываний (преобразования простых высказываний в сложные и выведения одних сложных высказываний из других).

Язык логики высказываний - система символов, которые называются алфавитом. Алфавит:

1. Символы для обозначения простых высказываний (пропозиційні переменные) - А, В, С, ... (или г, </, г, я; р{, р2, р ).

2. Символы, обозначающие істиннісні значения высказываний - "и", "*".

3. Символы для обозначений пропозиційних связь (логические союзы, логические постоянные):

- конъюнкции л;

- нестрогой дизъюнкции V;

- строгой дизъюнкции X;

- импликации ->;

- эквивалентности =;

- возражения

4. Вспомогательные (знаки, технические) символы - (левая скобка, правая скобка).

Структура логики высказываний, построенной в форме логического счисления: алфавит, правила построения формул из символов алфавита; аксиомы, правила дедуктивного вывода из аксиом новых формул (доказательства теорем) на основании принципа логического следования; правила интерпретации.

Правила построения формул из символов алфавита:

1.А - формула (каждая пропозиційна переменная является правильно построенной формулой).

2. Если Л является произвольной и правильно построенной формулой, то -" А также является правильно построенной формулой.

3. Если А, В - произвольные формулы, то и А Л В - формула; А V В - формула; А -> В - формула; А = В - формула.

4. Никаких других формул в логике высказываний нет.

Формулы разделяют на простые (элементарные, атомарные) и сложные (молекулярные). Формула вида А является простой, а формула вида А в В - сложной. Сложные формулы образуют из простых с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности, отрицания.

Подаем примеры таких формул в логике высказываний:

- А л В - сложное кон'юнктивне высказывания (чит.: А и В);

- Л V - сложное диз'юнктивне высказывания (чит.: А или В);

- А JL В - сложное диз'юнктивне высказывания (чит.: или А, или В);

- А - В - сложное імплікативне высказывания (чит.: если А, то В);

- А s - сложное эквивалентное высказывание (чит.: если и только если А, то В);

--'А - отрицание (чит.: неправильно, что А);

--1 - отрицание (чит.: неправильно, В).

Если правила построения формул формулируют на синтаксическом уровне, то на семантическом уровне задают процедуру разложения сложных формул на простые, которая получила название "метод построения аналитических таблиц".

Аналитическая таблица - метод разложения сложных формул на простые (элементарные, подформулы), осуществляют по правилам редукции (лат. reductio - возвращение назад). Это схема изображения всех формул, полученных по правилам редукции. Правила редукции формулируют для всех пропозиційних связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности, отрицания. Например, если формула вида А Л изображает В конъюнкцию, то она разлагается на формулы А, В, при чем слева перед формулой, что редуцируется, ставят символ Г, а все формулы, расположенные справа от символа редуцирования, обозначают символом V. Если после применения правил редукции применительно к конкретной сложной формулы получают любую простую формулу и ее отрицание, то сложную формулу называют замкнутой.

Общая аналитическая таблица для всех пропозиційних связь имеет такое изображение:

На основании этих аналитических таблиц формулируют соответствующие аналитические правила, которые позволяют определить такой набор значений простых (атомарных) высказываний, при которых сложное высказывание является истинным или ложным. Так, если предположить, что сложная формула ошибочна, а в результате применения аналитических правил получают все замкнутые ветви (то есть все возможности наборов значений для ее простых высказываний противоречивые), то из этого делается вывод о том, что предположение является ошибочным, а сама формула тождественно-истинной. В основе такого обоснования положены доказательства "от противного". Вот пример такого обоснования. Допустим, что формула -" -> А = А ложная. Тогда аналитическая таблица для этой формулы будет иметь построение:

где символы Т и F обозначают метавластивості выражения "истинным" и "быть ложным". Итак, каждая из двух возможностей (ветвей) замкнутая, поскольку в них простая атомарная формула А одновременно истинна (Т(А) и ложная (F(A), что является явным противоречием. Таким образом формула-o-o А = А - тождественно-истинна.

Множественность формул, созданных на основании введенного алфавита, - это класс формул логики высказываний (ЛВ), из которых выделяется подкласс тождественно-истинных формул (тавтологии, аксиомы). На семантическом уровне обоснования, что создано из символов алфавита, формула определенного вида является тождественно-истинной формулой (тавтологией, аксиомой) в пределах ЛО, осуществляют не только методом построения аналитической таблицы для любой сложной формулы, но и методом построения таблицы истинности для этой формулы.

Таблица истинности для формул логики высказываний:

Таблица истинности для формул логики высказываний

Приведем пример обоснования того, что формула вида (А V В) -> (В V А) является тождественно-истинной методом построения таблицы истинности:

Ответ: поскольку при всех наборах істиннісних значений для А и В формула вида (А V В) -> (В V А) приобретает значение "истинный", то она - тождественно-истинная формула (аксиома, тавтология).

Определения или обоснования семантической свойства любой произвольной сложной формулы в логике высказываний может осуществляться и на синтаксическом уровне, то есть на основании анализа внешнего вида (структуры) самой формулы. Для этого используют розв'язувальну процедуру - возведение формулы к ее кон'юнктивної нормальной формы (КНФ) или дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ).

Если нормальная форма является формулой, которая содержит только логические операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, то конъюнктивой нормальной формой называют формулу, которая является кон'юнкцією элементарных диз'юнкцій (то есть диз'юнкцій простых формул или их отрицаний), а диз'юнктивною нормальной формой называют формулу, что является дизъюнкцией элементарных кон'юнкцій (т.е. конъюнкции простых формул или их отрицаний). Например, формула вида ("o А, V А2) л А8 является КНФ, а именно - кон'юнкцією таких двух элементарных диз'юнкцій, как и А, V А2 и А,; формула вида (-"А1 Л А^) V А, V А4 является ДНФ, а именно - дизъюнкцией таких трех элементарных кон'юнкцій, как -" А1 Л А2, А3, А4, а формула вида А, V А2 Л А3 не является ни КНФ, ни ДНФ.

Формула тождественно-истинна, если в каждую элементарную дизъюнкцию ее КНФ одновременно входит любая простая формула вместе со своим отрицанием (такое вхождение еще называют регулярным). Например, КНФ для формулы (А -> В) -> (-ч В -" -и А) имеет вид (Ач В V -> А) л (-> В V В V -> А). Поскольку и первая элементарная дизъюнкция (А V В V-o А) содержит регулярное вхождение А и-o А, и вторая элементарная дизъюнкция ("o В V В V -"А) содержит регулярное вхождение -"В и В, то и конъюнкция этих двух истинных диз'юнктивних формул является истинной формулой, а следовательно, истинна и формула, для которой было найдено именно эту КНФ.

Формула тождественно-ложная, если в каждую элементарную конъюнкцию ее ДНФ одновременно входит любая простая формула вместе со своим отрицанием, поскольку дизъюнкция всех ложных підформул - ложная формула. Если нет КНФ, ни ДНФ конкретной сложной формулы не содержит в своих підформулах регулярных вхождений, то такую сложную формулу считают нейтральной (или выполняемой), и ее істиннісне значение зависит не только от логической структуры, но и от конкретных свойств простых высказываний быть истинными или ложными.

В логике высказываний любую правильно построенную сложную формулу можно свести или к КНФ или ДНФ через равносильные преобразования, причем количество КНФ или ДНФ для одной формулы может быть произвольной (т.е. каждая формула может иметь не одну КНФ или ДНФ, а ряд множества КНФ или ДНФ). Равносильные преобразования заключаются в замене формулы одного вида формулу другого вида при условии, что эти две формулы равносильны.

В процессе возведения формул в КНФ или ДНФ o основном используют законы дистрибутивности, двойного отрицания, законы де Моргана (о них мы рассмотрим далее).

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее