Равносильные формулы логики высказываний

Формулы называются равносильными, если таблицы истинности этих формул будут совпадать. Равносильные формулы называются еще эквивалентными, потому что в процессе каждого набора значений своих переменных они принимают одинаковое значение истинности или значение ложности (см. таблицу истинности для формулы эквивалентности А = В).

Равносильную формулу можно получить в результате замены пропозиційних связь на основании отношения зависимости между ними. Определяют, что для любой формулы можно назвать равносильное для нее формулу, которая содержит символы-и, V, V. Например, формулу вида -1 А V-" можно заменить формулой вида -" (А л В), что означает-оА /ов = -" (А л В); формулу вида А -> можно заменить формулой -" А V В, что означает А -> В = -и А V В; формулу А V можно заменить формулой -" (-"А Л В), что означает А V В =->(-* А Л ->).

Равносильные формулы называются законами логики высказываний.

Законы логики высказываний (ЛВ) - равносильны, тождественно-истинные формулы, входящие в структуру классической символической логики как формальной системы. К ним относятся: закон тождества, закон непротиворечивости, закон исключенного третьего, закон ассоциативности, закон дистрибутивности, закон идемпотентности, закон коммутативности, закон контра позиции, закон поглощения, закон двойного отрицания, законы де Моргана и др.

Закон тождества определяет, что каждое высказывание является логическим следствием самого себя. Формальный выражение закона А-> А.

Закон непротиворечивости определяет, что высказывания А неправильное, если одновременно истинны его утверждение и его отрицание. Формальный выражение закона -1 (А л -> А).

Закон исключенного третьего определяет, что высказывание А или истинно, или ложно по значению истинности, но не может быть одновременно истинным и ложным. Формальный выражение закона А 1 А.

Законы тождества, непротиворечивости, исключенного третьего впервые сформулировал Аристотель. Они являются также законами традиционной логики (см. 3.3). В символической логике эти законы рассматривают как элементы определенной формально-логической системы и методом построения таблицы истинности определяют как тождественно-истинные формулы.

С возникновением и дальнейшим развитием символической логики были определены новые законы логики высказываний.

Закон ассоциативности (лат. associâtіо - соединение) - закон, определяющий эквивалентность конъюнкции или дизъюнкции с тремя переменными с различной расстановки скобок. На основании этого закона осуществляют определенные логические операции над высказываниями А, В, С для конъюнкции, дизъюнкции; над классами. Так, вы-

Закон дистрибутивности (лат. (размещение, распределение) выражает соотношение конъюнкции и дизъюнкции в логических операциях сложения и умножения:

Закон експортацїі определяет, что когда переменные А, В, С соединены знаками конъюнкции и импликации, то из истинности конъюнкции А а следует истинность С: (А а В -> С) К А ->- > С), где ь- - символ дедуктивного вывода (чит.: если истинность конъюнкции А л В імплікує С, то, если истинно А, - следует из истинности В следует истинность С).

Закон идемпотентности (лат. - то, что сохраняет то же самое) означает: произведение двух высказываний А л А сумма двух высказываний А V А эквивалентна самому высказыванию А, то есть, для конъюнкции А л А = А (конъюнкция двух высказываний А и А эквивалентно А); для дизъюнкции А V А = А (дизъюнкция двух высказываний А или А эквивалентно А).

Закон коммутативности (лат. - стиля) означает, что при умножении (конъюнкции) и добавлении (дизъюнкции) результат не зависит от порядка переменных. Закон коммутативности для конъюнкции (А Л В) = {В л А) (чит.: А и В эквивалентно В и А); для дизъюнкции (А V В) = (В V А) (чит.: А или В эквивалентное, В или А).

Закон контрапозиции (лат. - противопоставление) - закон, по которому импликации можно противопоставить ее возражения: (А -> В) = (->- > -o А) (чит.: если из высказывания А следует высказывание В, то из отрицания высказывания В следует отрицание А).

Закон поглощения определяет, что в кон'юнктивному или диз'юнктивному высказывании с переменными А, В осуществляется поглощение дополнительного высказывания. Закон поглощения: для конъюнкции А л (А v В) = А (чит.: А и (А или В) эквивалентно А); для дизъюнкции А V (А V В) = А (чит.: А или (А или В) эквивалентно А).

Закон двойного отрицания определяет, что двойное отрицание высказывания А (отрицание отрицания) эквивалентно его утверждению. Изображают формулами:

1. -" А -> А (чит.: если неправильно, что не А, А);

2* "" -" А = А (чит.: неправильно, что не эквивалентно утверждению А).

Законы де Моргана сформулировал шотландский логик О. де Морган:

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   След >