Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Логика arrow Логика

Отношение логического следования между формулами

Между определенными формулами логики высказываний существует отношение логического следования. Это означает: если из формулы вида следует формула вида то каждый раз, когда формула Р является истинной, то и формула Р2 является истинной. Формальный выражение отношение логического следования: Г, -" Р2. Например, из формулы вида А следует формула вида А v В; из формулы вида -> -o А следует формула вида А; из формулы вида А v А следует формула вида А.

На основании установления отношения равносильности и следования осуществляют операцию доведения определенных на истинность формул по правилам вывода. Операция доводки - неотъемлемая часть любого исчисления высказываний.

Исчисление логики высказываний - система символов и правил логического вывода из аксиом произвольных формул или теорем с целью их доведения на истинность. Различают натуральное и аксиоматическое исчисление логики высказываний.

Натуральное исчисление логики высказываний воспроизводит логическую строение обычных соображений. Впервые натуральные исчисления разработали независимо друг от друга польский логик С. Яськовський (1906-1965) и немецкий логик Г. Генцен (1907-1945) в 30-х годах XX в.

Рассмотрим одну из систем натурального исчисления, которую обозначим буквой 5. Основные правила системы 5.

1. Правила логического следования

(А -> В, А) -" В (правило модус поненс); (А -" В, -и В) -" -" А (правило модус толленс); (А, В) -> А л В (правило ВК - введение конъюнкции); (А л В) -> А; (А л В) -> В (правило УК - устранение конъюнкции);

А-> (А v В); В -" (А v В) (правило ВД - введение дизъюнкции);

(А 1, А) -" -и В; (А 1 В, - В) -" А (правило УД - устранение дизъюнкции);

((А -> В, В -> А)) -" (А = В) (правило ВЕ - введение эквивалентности);

(А = В) -> (А -> В); (А = В) -" В -> А) (УЕ - устранение эквивалентности));

А -> -и-и А (правило (В32) - введение двойного отрицания);

-" -и А -> А (правило У32 - устранение двойного отрицания).

2. Правила построения доказательства.

2.1. Правила построения прямого доказательства. Прямое доказательство формулы А1 -> (А2 ... (Ая -> С) строится следующим образом. На любом шаге доказывания можно определить:

1. Одну из формул А., А2,... Ап как предположение.

2. Формулу, что следует из ранее неопределенных формул по правилам логического следования.

3. Ранее доказанную формулу.

Прямое доказательство формулы считают построенным, если в соответствии с 1-3 мы получаем последовательность формул, которые завершаются формулой С. Например, докажем

2.2. Косвенное доказательство формулы А, -> (А2 -" (Ал -> С) строится так: На любом шаге доказывания можно определить:

1. Одну из формул А,, А2,... Ая как предположение.

2. Формулу, что противоречит формуле С.

3. Формулу, что следует из ранее определенных формул по одному из правил логического следования.

4. Ранее доказанную формулу.

Косвенное доказательство формулы А, -> (А -> (Ая -> С) считают построенным, если в соответствии с 1-4 мы получаем последовательность формул, которые содержат пару формул, находящихся в отношении противоречия и завершаются одной из них. Докажем формулу ((А -" В) > В) -> -" А.

Доказывания:

Аксиоматическая построение исчисления высказываний

Логические системы такого типа называются гільбертовськими по имени немецкого математика Д. Гильберт (1862-1943). По сравнению с системами натурального исчисления в исчислениях гільбертовського типа формальная структура доказывания существенно отличается от логической строения привычных рассуждений.

В процессе построения исчислений высказываний гільбертовського типа выбирают конечный запас логических тождеств как аксиом и отмечают правила, с помощью которых можно получить из аксиом новые логические тождества как теорем соответствующей логической системы.

Рассмотрим систему 5, в которой аксиомами являются следующие формулы: А, А (В -" А)

Единственным правилом вывода является правило модус поненс (А -> В, А) -> В.

Доведение в системе 8 формулы строится следующим образом. На любом шаге доказывания можно определить:

1. Одну из аксиом.

2. Формулу, что следует из ранее определенных формул по правилу модус поненс.

Доведение формулы Р считают построенным, если в соответствии с 1-2 получаем последовательность формул, завершаются формулой Г. Например, доказательство формулы А А строят так. Доказывания:

Металогическая оценка логики высказываний

На уровне мета-логического анализа определяют, что логика высказываний (ЛВ) соответствует принципам построения формально-логических систем:

- принципа непротиворечивости, то есть в ней не выводят никаких двух формул, одна из которой была бы отрицанием другого;

- принципа полноты, то есть все тождественно-истинные формулы являются доказанными формулами ЛО;

- принципа розв'язуваності, то есть в ЛО существует алгоритм, позволяющий для любой формулы вида А установить, доказана она или нет.

Интерпретация логики высказываний (ЛВ) означает:

- разъяснение смысла логических символов, обозначающих пропозиційні переменные (логические союзы) в сложном высказывании;

- построение семантической модели с целью определения істиннісних значений выражений формализованного языка ЛВ и описания этих значений.

Логика высказываний может быть интерпретирована во всех сферах деятельности людей (научной, философской, юридической, экономической и др.), где необходима точность рассуждений и строгость вывода из истинных предпосылок истинного заключения.

Логика высказываний, в рамках которой определены законы следования (вывода одних высказываний из других, может быть интерпретирована в рассуждениях, где имеет место строгое выведение. Например, логики и математики определили интерпретацию логики высказываний в теории релейно-контактных схем, в теории автоматов и др. Для интерпретации логики высказываний задают класс (множество) высказываний, в пределах которой высказывания с определенным содержанием может быть формализована на языке логики высказываний и интерпретирована определенная формула, то есть превращена в высказывания, которой придают значение истинности.

Рассмотрим операции формализации высказываний на языке логики высказываний и интерпретации формул логики высказываний в сфере права.

1. "С появлением государства и права в обществе возникают новые виды общественных отношений: политические и правовые". Для формализации этого сложного высказывания определим его формальную структуру и тип логической связи. К ним относятся связки конъюнкции (и, и), которые связывают термины "государство", "право", "политические и правовые отношения", и импликация (следование), выражена неявно. Записываем это высказывание формально, то есть на языке логики высказываний:

2. Построим формулу логики высказываний: А1В. Интерпретируем ее в сфере права. Например: "Государственная власть в стране осуществляется или вследствие соблюдения основных прав человека (А) или вследствие нарушения основных прав человека (В)". Строгая дизъюнкция исключает одновременно співістинність этих двух высказываний (соблюдение основных прав человека) (а) и нарушения основных прав человека (В), следовательно, одно из этих высказываний (А, В) - истинное, другое - ложное. Предоставим значение истинности выражения А, высказыванию же В - значение ложности. Находим значение истинности для этой інтерпретованої формулы А1 В. На основании таблицы истинности (см. выше) учитываем: если высказывание А - истинно, а высказывание В - ложно, то сложное высказывание, построенное по формуле А 1 В, - истинно.

 
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 
Предметы
Агропромышленность
Банковское дело
БЖД
Бухучет и аудит
География
Документоведение
Естествознание
Журналистика
Инвестирование
Информатика
История
Культурология
Литература
Логика
Логистика
Маркетинг
Математика, химия, физика
Медицина
Менеджмент
Недвижимость
Педагогика
Политология
Политэкономия
Право
Психология
Региональная экономика
Религиоведение
Риторика
Социология
Статистика
Страховое дело
Техника
Товароведение
Туризм
Философия
Финансы
Экология
Экономика
Этика и эстетика
Прочее